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Ah! ok es un medio de...
es asi:
d/dx [1/2 (x sqrt (4x+x^2)) + 2senh^-1 (x/2)]
Si es un medio de..., es al revés, debería ir 1/2 entre paréntesis
d/dx [(1/2) x sqrt (4x+x^2) + 2senh^-1 (x/2)]
Así se explica que primero se hace la operación 1/2 y luego el resultado de eso se multiplica por x·sqrt(4x+x^2)
Me siento incomodo con la función senh^-1(x/2), tiene un nombre que es argumento del seno hiperbólico de x/2 y se escribe así argsh(x/2), aunque los ingleses lo escriben asinh(x/2). Pero voy a dejarlo tal como lo escribiste.
Mira como escribo la expresión para ver si es la misma del ejercicio.
$$\begin{align}&\frac {d\left[\frac 12 x \sqrt {4x+x^2} + 2senh^{-1} (x/2)\right]}{dx}=\\ &\\ &\frac 12\left(\sqrt{4x+x^2}+x \frac{4+2x}{2 \sqrt{4x+x^2}} \right)+\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{x}{2}\right)^2}}·\frac 12=\\ &\\ &\\ &\frac 12\left(\sqrt{4x+x^2}+\frac{2x+x^2}{\sqrt{4x+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{4+x^2}{4}}}\right)=\\ &\\ &\\ &\frac 12\left(\frac{4x+x^2+2x+x^2}{\sqrt{4x+x^2}}+\frac{2}{\sqrt{4+x^2}}\right)=\\ &\\ &\\ &\frac{x^2+3x}{\sqrt{4x+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}\\ &\\ &\\ &\end{align}$$Y así es como debe dejarse, si ponemos factor común se tiene que hacer mas multiplicaciones y divisiones para evaluar la función que de esta forma, luego es mejor así.
Y eso es todo.
