Análisis de un espacio vectorial
de los siguientes conjuntos responde de manera correcta las preguntas
que se plantean. Recuerda que debes de argumentar de acuerdo a tus resultados.
Z1= {(1,0)}
Z2= {(1,0), (0,1)}
Z3= {(1,0), (0,1), (1,1)}
1. Responde: ¿los conjuntos son espacios vectoriales o no lo son? Argumenta tu
respuesta.
2. Argumenta si los espacios vectoriales encontrados son linealmente independientes o dependientes.
3. Determina si son base o no y por qué.
4. ¿Cuáles son una base de R2?
1 Respuesta
Me parece que hay un pequeño conflicto de notación o de carencias en el enunciado
Cuando se escribe
Z1 = {(1,0)}
Se sobreentiende que Z1 es un conjunto formado por un elemento que es (1,0)
Para expresarlo bien deberían decirnos que
Z1 es el subespacio vectorial de R2 generado por el vector (1,0)
Z2 es el subespacio vectorial de R2 generado por los vectores (1,0) y (0,1)
Z3 ,, ,, ,, (1,0), (0,1) y (1,1)
1) Si lo tomamos tal como lo he dicho la respuesta es SI. Son espacios vectoriales, por definición el subespacio vectorial generado por un conjunto de vectores es un espacio vectorial.
2) La pregunta no está bien formulada. Los espacios vectoriales no son linealmente dependientes o independientes. Los que son linealmente independientes o no son conjuntos de vectores. Luego:
El conjunto de vectores {(1,0)} es linealmente independiente. El conjunto de un vector es linealmente independiente siempre que sea distinto del vector nulo.
El conjunto {(1,0), (0.1)} es linealmente independiente. Dado un conjunto de dos vectores no nulos solo son linealmente dependientes si uno es múltiplo del otro.
El conjunto {(1,0), (0,1), (1,1)} es linealmente dependiente. Se puede argumentar de dos formas.
a) La dimensión de R2 es 2 y todo conjunto de más de dos elementos es linealmente dependiente
b) El tercer vector se obtiene como combinación lineal del primero y segundo
(1,0) + (0,1) = (1,1)
3) Se es base respecto a un espacio vectorial, un conjunto puede ser base de un espacio vectorial pero no de otro. Entonces si nos preguntan si es base del espacio vectorial generado diremos
{(1,0)} es base del espacio vectorial que genera (1,0), el cual tiene dimensión 1
{(1,0), (0,1)} es base del espacio vectorial generado por (1,0) y (0,1) que es R2
{(1,0),(0,1),(1,1)} no es base de R2 porque no es un sistema libre, le sobra un vector.
4) Y el único conjunto de los tres que es base de R2 es {(1,0), (0,1)}
Y eso es todo.
Que tal,Tengo una duda pues si z1=(1,0) no puede ser espacio vectorial pues el neutro aditivo (0,0) no se encuentra en el conjunto y es condición para ser espacio vectorial. Otra cosa, como podría comprobar que el vector (1,0) es base? Agradezco mucho - Alberto García
Ya decía que el enunciado no estaba acertado, una cosa es:Z1={(1,0)}que sería un conjunto de un elementoy otra cosa es el espacio generado por el vector (1,0) y que se denotariaZ1 = <(1,0)>entonces el espacio generado por (1,0) son todos los vectores que se obtienen al multiplicar el vector por cualquier elemento del cuerpoZ1 = {k(1,0) | k € R} = {(k,0) | k € R}y en particulas para k=0 tendriás el elemento neutro de la suma (0,0)Saludos. - Valero Angel Serrano Mercadal