Distribuciones de probabilidad multivariantes. 5,6 teoremas especiales.

5.79)

Nos dicen que la distribución es uniforme, eso significa que la función de densidad es una constante, debemos calcular cuanto vale y dar forma a los límites.

La figura tiene de área 1, es un triángulo de base 2 y altura 1.

Luego la constante es:

1 / area = 1

Y los límites de integración podemos tomarlos así, variando

y2 en [0, 1]

y1 en [-1+y2, 1-y2]

Con esto el calculo de la esperanza que nos piden será

$$\begin{align}&E(Y_1Y_2)=\int_0^1\int_{-1+y_2}^{1-y_2}y_1y_2dy_1dy_2=\\ &\\ &\\ &\int_0^1 \left[ \frac{y_2 y_1^2}{2} \right]_{-1+y_2}^{1-y_2}dy_2=\\ &\\ &\\ &\\ &\int_0^1 \frac{y_2[(1-y_2)^2-(-1+y_2)^2]}{2}dy_2=\\ &\\ &\\ &\\ &\int_0^10\;dy_2 = [k]_0^1 = k-k = 0 \\ &\\ &\\ &\end{align}$$

Luego E(Y1·Y2)=0

Lo cual es lógico porque Y1 tiene cero de esperanza y el producto será cero.

Y eso es todo.