Demuestra que un conjunto de vectores ortonormal forma un conjunto linealmente independiente.

Si el conjunto es linealmente dependiente cada uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los otros. Pongamos el último de esta forma:

$$\begin{align}&a_n = c_1a_1+c_2a_2+...+c_{n-1}a_{n-1}\\ &\\ &\text {Hagamos el producto escalar de }a_n \text {por cada uno}\\ &\text{de los anteriores. Haciendo uso de las propiedades}\\ &\text {el producto escalar tenemos:}\\ &\\ &\\ &a_1·a_n = c_1(a_1·a_1)+c_2(a_1·a_2)+...+c_{n-1}(a_1·a_{n-1})\\ &\\ &\\ &\text {Por ser }a_1 \text{ ortonormal con todos los demás,todos los}\\ &\text{productos escalares que hay, salvo el que tiene consigo }\\ &\text {mismo son cero y la expresión se reduce a:}\\ &\\ &0 = c_1\\ &c_1=0\\ &\\ &\text {Y si hacemos el producto escalar con } a_2 \text { obtendremos }c_2=0\\ &\text{Y asi con todos:}\\ &c_1=c_2=···=c{n-1}=0\end{align}$$

Y como todos los coeficientes son cero se concluiría que el vector an = 0, pero an no puede ser 0 porque an tiene norma 1, luego absurdo y no se puede poner como combinación lineal de los anteriores y el conjunto es linealmente independiente.

Y eso es todo.