Geometría de un cuadrado
Estimado:
Tengo un problema matemático de geometría en el cual ojalá me pudiese ayudar. Cualquier aporte será de muchísima ayuda.
El ejercicio dice asi:
Sean ABCD un cuadrado y P, Q puntos distintos en su interior, tales que
AP = BP = PQ = CQ = DQ = 10.
Encuentre la longitud del lado del cuadrado.
Atentamente Franunez
1 Respuesta
P equidista de A y B, luego está en la mediatriz del lado AB
Q equidista de C y D, luego está en la mediatriz del lado CD
Pero estos son lados opuestos, paralelos y por tanto la mediatriz es la misma.
Pensaba que se podrá explicar sin hacer dibujo, mejor vamos a hacerlo y se verá todo claro.
Sea a la longitud del lado. Tenemos un triángulo rectángulo con el cateto base que mide a/2 y el cateto altura mide (a-10)/2, la hipotenusa mide 10.
Aplicamos el teorema de Pitágoras
(a/2)^2 + [(a-10)/2]^2 = 10^2
(a^2)/4 + (a^2+100-20a)/4 = 100
a^2 + a^2 + 100 - 20a = 400
2a^2 - 20a - 300 = 0
a^2 - 10a - 150 = 0
Ecuación de segundo grado, la resolvemos
a = [10 +- sqrt(100+4·150)] / 2
a = [10 +- sqrt(700)] / 2
a = 5 +- 10sqrt(7)/2
a = 5 +- 5sqrt(7)
Una de las dos es negativa, la desechamos
a = 5[1 + sqrt(7)] = 5(1+2,645751311) = 18,22875656
Ese es el lado del cuadrado.
Y eso es todo.
