Resuelva la siguiente integral

EL valor absoluto se escribe siempre con las barras |thx / 2|

$$\begin{align}&\int \frac{dx}{shx·ch^2x}=\int \frac{shx}{sh^2x·ch^2x}dx =\\ &\\ &t=chx; \quad dt = shxdx;\quad sh^2x=t^2-1\\ &\\ &=\int \frac{dt}{(t^2-1)t^2}=\int \frac{dt}{(t+1)(t-1)t^2}=···\\ &\\ &\frac{a}{t+1}+\frac{b}{t-1}+\frac ct + \frac d{t^2}=\\ &\\ &\frac{at^3-at^2+bt^3+bt^2+ct^3-ct +dt^2-d}{(t+1)(t-1)t^2}\\ &\\ &(a+b+c)t^3 = 0t^3\\ &(-a+b+d)t^2 = 0t^2\\ &-ct = 0t \implies c=0\\ &-d=1 \implies d=-1\\ &\\ &a+b=0\\ &-a+b-1=0\\ &2b-1=0\\ &b=\frac 12\\ &a=-\frac 12\\ &\\ &\\ &...=-\frac 12\int \frac{dt}{t+1}+\frac 12\int \frac{dt}{t-1}-\int \frac{dt}{t^2}=\\ &\\ &\frac 12 (ln|t-1|-ln|t+1|)-\frac 1t+C =\\ &\\ &\frac 12 ln\left|\frac{t-1}{t+1}  \right|+\frac 1t + C=\\ &\\ &\frac 12 ln\left| \frac{chx-1}{chx+1} \right|+\frac {1}{chx}+C\\ &\end{align}$$

Si aplicamos las fórmulas 2 y 3 a x/2 tenemos

sh^2(x/2) = ( chx - 1)/2
ch^2(x/2) = (chx + 1)/2

con lo cual

th^2(x/2) = (chx-1)/(chx+1)

entonces nuestra integral queda

(1/2)ln |th^2(x/2)| + 1/chx + C =

por las propiedades de los logaritmos

= ln |th(x/2)| + 1/chx + C

En la respuesta que ponías arriba no estaba bien puesto el 2.

Y eso es todo.