La derivada de la función x

Espero que ahora salga una función generadora de momentos que se pueda usar para calcular media y varianza.

Espera, que esta variable no es continua, la función generadora de momentos tiene otra fórmula

$$\begin{align}&M_X(t)=E(e^{tX})=\sum_x e^{tx}·p(x)=\\ &\\ &\sum_{i=0}^{\infty}e^{it}·\frac{e^{-\lambda}·\lambda^i}{i!}=\\ &\\ &e^{-\lambda}· \sum_{i=0}^{\infty}e^{it}·\frac{\lambda^i}{i!}=\\ &\\ &e^{-\lambda}· \sum_{i=0}^{\infty}\frac{(e^{t}·\lambda)^i}{i!}=\\ &\\ &e^{-\lambda}·e^{\lambda e^t}=\\ &\\ &e^{\lambda e^t-\lambda}=\\ &\\ &e^{\lambda(e^t-1)}\end{align}$$

$$\begin{align}&E(X) = \left.\frac{\partial M_X(t)}{\partial t}\right|_{t=0}=\\ &\\ &e^{\lambda(e^t-1)}·\lambda·e^t|_{t=0}=\\ &\\ &e^{\lambda(1-1)}·\lambda·e^0=\\ &\\ &e^0·\lambda·e^0= \lambda\end{align}$$

Y la varianza viene dada por

V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

E(X^2) lo podemos calcular con la función generadora de momentos

$$\begin{align}&E(X^2) =\left.\frac{\partial^2 M_X(t)}{\partial t^2}\right|_{t=0}=\\ &\\ &\text {ya teníamos calculada la derivada primera}\\ &e^{\lambda(e^t-1)}·\lambda·e^t\\ &\\ &=\lambda(e^{\lambda(e^t-1)}·\lambda e^t·e^t+e^{\lambda(e^t-1)}·e^t)|_{t=0}=\\ &\\ &\lambda(e^0·\lambda·e^0·e^0+e^0·e^0) =\\ &\\ &\lambda(\lambda+1)=\lambda^2+\lambda\end{align}$$

Y ahora que ya está calculada E(X^2) tenemos

$$V(X) = E(X^2)-[E(x)]^2= \lambda^2+\lambda-\lambda^2=\lambda$$

Luego tanto la media como la varianza son lambda, resultado que ya conocíamos,

Feliz año nuevo! Aquí ya llevamos casi 6 horas.