Tangente a una parábola

Lo primero es calcular la ecuación de la parábola. No nos lo dicen pero se supone que será una parábola con eje longitudinal paralelo al eje Y, es decir, que su ecuación será de la forma

f(x) = ax^2+bx + c

Por pasar por el punto (0,25) se deduce enseguida que c=25

25 = a·0^2 + b·0 + c

25 = c

Luego la ecuación será

f(x) = ax^2 + bx + 25

Y ahora ponemos las condiciones para que pase por los dos puntos.

22 = 62500a + 250b + 25

35 = 250000a + 500b + 25

62500a + 250b = -3

250000a + 500b = 10

Multiplicaremos la primera por (-2) para sumarla con la segunda

-125000a - 500b = 6
250000a + 500b = 10

----------------------------

125000a = 16

a = 16 / 125000 = 2/15625

Y ahora calculamos b

62500(2/15625) + 250b = -3

8 + 250b =-3

250b = -11

b = -11/250

Luego la parábola es:

f(x) = 2x^2/15625 - 11x/250 + 25

Las rectas que pasan por el punto (50,5) con pendiente p son

r: (50,5) + t(1, p)

x=50+t

y=5+pt

calculamos aquella o aquellas que solo tienen un punto de corte con la parábola

5+pt = 2(50+t)^2/15625 - 11(50+t)/250 + 25

Vamos a multiplicar por 31250 para eliminar todos los denominadores

156250 + 31250pt = 4(50+t)^2 - 1375(50+t) + 781250

156250 + 31250pt = 10000 + 400t + 4t^2 - 68750 - 1375t + 781250

4t^2 - t(975+31250p) + 566250 = 0

Y lo que debemos hacer es que el discriminante de esta ecuación de segundo grado sea 0.

(975+31250p)^2 - 4·4·566250 = 0

(975+31250p)^2 = 9060000

975+31250p = +- 100sqrt(906)

31250p = -975 +-100sqrt(906)

p = [-975 +- 100sqrt(906)] / 31250 = -39/1250 +- 2sqrt(906)/625

Esas son las dos pendientes, vamos a ponerlas en decimal para enterarnos

p1 = -0.1275194684

p2 = 0.06511946844

Para verificarlo calcularé un punto más de cada recta haciendo t=500

En r1: (550, -58.7597324)

En r2: (550, 37.55973422)

Y he hecho la gráfica donde los puntos son estos

A = (0, 25)

B = (250, 22)

C = (500, 35)

D = (50, 5)

E = (550, -58.7597324)

F = (550, 37.55973422)

Y en apariencia esas son las tangentes a la parábola.

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no es así pregúntame y si ya está bien no olvides puntuar.

Ahora que he terminado y me ha costado mucho porque los números eran muy feos, me doy cuenta de un pequeño detalle. Como hablabas de parábola he resuelto el problema para una parábola como si fuera un ejercicio de matemáticas. Pero ahora que veo que hablas de líneas de transmisión de energía tendrías que haber usado la palabra catenaria, porque esa es la forma que adoptan los cables eléctricos la del coseno hiperbólico.

Pero el trabajo que he hecho ha sido de varias horas, puntúa esta pregunta y mándame otra si lo quieres con la ecuación de la catenaria. La que hemos hecho no será muy distinta de la de la catenaria pero no es exacta del todo.