La derivada en 0 será
f '(0) = lim h-->0 [f(h) - f(0)] / h =
lim h-->0 (senh/h - 1]) / h =
lim h-->0 [(senh -h) / h] / h =
lim h-->0 (senh - h) / h^2 =
Y este límite no se puede solucionar con operaciones algebraicas, habrá que usar la regla de l'Hôpital, el límite será igual al del numerador derivado entre el denominador derivado
= lim h -->0 (cosh -1) / 2h =
sigue habiendo indeterminación 0/0 derivamos otra vez numerador y denominador
= lim h-->0 -senh / 2 = 0
Luego f ' (0) = 0
La derivada segunda para x distinto de 0 se calcula con los métodos normales
f '(x) = (xcosx - senx) / x^2
f ''(x) = [(cosx -xsenx -cosx)x^2 - 2x(xcosx-senx)]/x^4 =
(x^3senx -2x^2cosx +2x·senx) / x^4 =
[(x^2+2)senx - 2xcosx] / x^3
Y para x=0 es
f ''(0) = lim h-->0 de [f '(h) - f'(0)] / h =
lim h-->0 de [h·cosh - senh - 0] / h=
lim h-->0 de (cosh - senh/h) =
1 - lim h-->0 de senh/h =
Ese es un límite que se conoce pero si no se conoce se calcula con la regla de l'Hôpital
= 1 - lim h-->0 de cosh / 1 = 1 - 1 = 0
Luego f ''(0) = 0
Y eso es todo.