Métodos matemáticos aproximación
1) Problema 1
(a) >Con que exactitud es necesario medir el radio de una esfera para que su volumen
y su super cie se puedan determinar con un error relativo menor a 0;05 por ciento?
(b) >Cuantos decimales es necesario emplear en el valor de pi ?
2) Problema 2
Una compañía tiene que decidir comprar un ordenador entre dos modelos diferentes.
Para ello ha decidido evaluar la precision con que cada uno de estos modelos resuelve el
sistema
S
34x + 55y 23 = 0
55x + 89y 34 = 0
El primero da como solucion x = 0;11 e y = 0;45 y para comprobar su exactitud se
sustituye en el sistema y se obtiene
34(0;11) + 55(0;45) -23 = 1;99
55(0;11) + 89(0;45) -34 = 0;00
El segundo da como solucion x = 0;99 e y = 1;01 y para comprobar su exactitud se
sustituye en el sistema y se obtiene
34(0;99) + 55(1;01) -23 = 1;11
55(0;99) + 89(1;01) -34 = 1;44
Con estos datos, estudiar por que modelo debe decidirse.
3) Problema 3
(a) Hallar una cota (con la norma infinito) para el numero de condicion de la matriz
A =(1 1+epsilon
1-epsilon 1)
donde epsilon es una cantidad positiva muy proxima a cero.
(b) Deducir del apartado anterior, que pequeñas perturbaciones epsilon provocaran un numero de condicion grande.
Ruego rapidez ya que me urge mucho,lo necesito hoy por favor, muchas gracias por adelantado.
1 Respuesta
Estoy muy atareado, todos los usuarios llevan retraso de varios días en las preguntas. Y tampoco permito más de un ejercicio por pregunta. Máxime cuando estos ejercicios son difíciles para mi. El Análisis Numérico es algo que no he empleado en mi vida posterior y lo tengo completamente olvidado.
No obstante, como estas tres preguntas me las han planteado hace pocos días, voy a ver si encuentro las respuestas que di y te pongo el enlace.
Pues no se por qué motivo no se encuentra la respuesta en TodoExpertos, la han eliminado ya. Esto es un contratiempo muy grande.
a) El volumen de la esfera es
$$\begin{align}&V=\frac 43\pi r^3\\ &\\ &\text{Supongamos que hay un error en el radio}\\ &\\ &V_e=\frac 43\pi (r+x)^3 =\\ &\\ &\frac 43\pi(r^3+3xr^2+3x^2r+x^3)\\ &\\ &V_e-V=\frac 43\pi(3xr^2+3x^2r+x^3)\\ &\\ &\text{Y se quiere que}\\ &\\ &V_e-V\le 0.0005V\\ &\\ &\frac 43\pi(3xr^2+3x^2r+x^3)\le 0.0005 \frac 43\pi r^3\\ &\\ &3xr^2+3x^2r+x^3\le 0.0005r^3\\ &\\ &9xr^2+9x^2r+3x^3\le 0.0005r^3\end{align}$$La segunda respuesta no nos sirve la que vale es la primera.
|x| <= 0.0002499687578r
Como este error es mas grande, si queremos medir ambas cosas bien habrá que tomar como error máximo el del volumen
|x| <= 0.000055552r
b) Se supone que las otras medidas están bien, entonces como pi es directamente proporcional al error. Se simplifica todo lo demás y solo queda.
x<=0.0005Pi = 0.001570796327
Tendremos un error menor si x <= 0.001, luego el tercer decimal debe ser exacto
Tomaremos al menos 3 decimales de Pi
3.142 por redondeo con exceso y el más correcto
3.141 por defecto.
Los otros dos ejercicios mándalos cada uno en otra pregunta distinta tras puntuar esta.
