Supongamos que Y={y1,y2,...,yn} es un conjunto ortonormal en R^n .Demuestra...
Supongamos que Y={y1,y2,...,yn} es un conjunto ortonormal en R^n.
Demuestra que cualquier vector en z perteneciente a R^n puede escribirse como una combinacion lineal de los vectores en Y. Mas precisamente, determina los coeficientes tales que
$$z=\sum_{j=1}^{n} c_j y_j$$¿Esta representación de z en terminos de los vectores en Y es única?
1 Respuesta
Un conjunto de vectores ortonormal es un sistema libre
Igualamos a cero uno combinación lineal de ellos
a1·y1+ a2·y2+ ... +an·yn = 0
Si hacemos el producto escalar por v1 tendremos que el resultado es cero por ser el segundo el vector nulo
<y1, a1·y1+a2·y2+...+an·yn> =
<y1, a1·y1>+<y1, a2·y2>+....+<y1, an·yn> =
Como y1 es ortonormal con y2, y3, .., yn el producto escalar
<y1, ai·yi> = ai<y1,yi> = 0 para todo i distinto de 1
Luego
<y1, a1·y1+a2·y2+...+an·yn>= <y1, a1·y1> = a1<y1,y1> = a1 = 0
Resumiendo
a1=0
Haciendo el mismo razonamiento con v2, ...,vn obtendremos
a1=a2= ...=an = 0
Luego los n vectores ortogonales son independientes. Y como la dimensión de Rn = n entonces el conjunto ortonormal de vectores es una base de Rn.
Y por ser una base la representación es única, veamos cuáles son:
z = c1·y1 + c2·y2 + ... + cn·yn
Si hacemos el producto escalar por y1
<y1, z> = <y1, c1·y1> + <y1, c2·y2>+ ... + <y1, cn·yn>
como y1 es ortonormal con todos otros yi su producto escalar es cero
<y1, z> = <y1, c1·y1> = c1<y1, y1> = c1
Luego c1=<y1, z>
Y lo mismo se obtiene haciendo el producto escalar por y2, y3, ..., yn
Luego
ci = <yi, z> para todo 1<=i<=n
Y eso es todo.
