Supongamos que Y={y1,y2,...,yn} es un conjunto ortonormal en R^n .Demuestra...

Supongamos que Y={y1,y2,...,yn} es un conjunto ortonormal en R^n.

Demuestra que cualquier vector en z perteneciente a R^n puede escribirse como una combinacion lineal de los vectores en Y. Mas precisamente, determina los coeficientes tales que

$$z=\sum_{j=1}^{n} c_j y_j$$

¿Esta representación de z en terminos de los vectores en Y es única?

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5.856.325 pts. Me voy x tiempo. Necesito hacer otras cosas, descansar...

Un conjunto de vectores ortonormal es un sistema libre

Igualamos a cero uno combinación lineal de ellos

a1·y1+ a2·y2+ ... +an·yn = 0

Si hacemos el producto escalar por v1 tendremos que el resultado es cero por ser el segundo el vector nulo

<y1, a1·y1+a2·y2+...+an·yn> =

<y1, a1·y1>+<y1, a2·y2>+....+<y1, an·yn> =

Como y1 es ortonormal con y2, y3, .., yn el producto escalar

<y1, ai·yi> = ai<y1,yi> = 0 para todo i distinto de 1

Luego

<y1, a1·y1+a2·y2+...+an·yn>= <y1, a1·y1> = a1<y1,y1> = a1 = 0

Resumiendo

a1=0

Haciendo el mismo razonamiento con v2, ...,vn obtendremos

a1=a2= ...=an = 0

Luego los n vectores ortogonales son independientes. Y como la dimensión de Rn = n entonces el conjunto ortonormal de vectores es una base de Rn.

Y por ser una base la representación es única, veamos cuáles son:

z = c1·y1 + c2·y2 + ... + cn·yn

Si hacemos el producto escalar por y1

<y1, z> = <y1, c1·y1> + <y1, c2·y2>+ ... + <y1, cn·yn>

como y1 es ortonormal con todos otros yi su producto escalar es cero

<y1, z> = <y1, c1·y1> = c1<y1, y1> = c1

Luego c1=<y1, z>

Y lo mismo se obtiene haciendo el producto escalar por y2, y3, ..., yn

Luego

ci = <yi, z> para todo 1<=i<=n

Y eso es todo.

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