Anónimo
Ayuda con un ejercicio matemático
Tenemos un círculo de diámetro AB y un punto cualquiera POR del círculo, diferente de A y de B.
Llamamos tA, tB , tX i las tangentes al círculo por los puntos A, B, y X, respectivamente.
Sean Z el punto donde se cortan las rectas AX y tB, i Y el punto donde se cortan las rectas BX y tA.
Demostrar que las rectas YZ, tX y AB son, o bien paralelas o concurrentes.
A ver si alguien me ayuda..
Muchas gracias!
Llamamos tA, tB , tX i las tangentes al círculo por los puntos A, B, y X, respectivamente.
Sean Z el punto donde se cortan las rectas AX y tB, i Y el punto donde se cortan las rectas BX y tA.
Demostrar que las rectas YZ, tX y AB son, o bien paralelas o concurrentes.
A ver si alguien me ayuda..
Muchas gracias!
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
¿El problema parece de geometría proyectiva, es así?
Es que tiene toda la pinta de que pueda resolverse por razones dobles, teorema de Desargues o similares, pero no me sale así.
Entonces lo mejor será usar la geometría cartesiana.
Sin perder generalidad, supondremos que la circunferencia tiene radio 1, que está centrada en el origen y que el punto POR tiene tiene positivas ambas coordenadas.
Si alguna fuera negativa se demuestra por simetría. Y si la coordenada en el eje POR fuese nula se comprueba fácilmente que las tres rectas van a ser paralelas.
La ecuación de la circunferencia será:
x^2 + y^2 = 1
La semicircunferencia que estamos considerando es esta (la superior):
y = f(x) = sqrt(1-x^2)
El punto A será (-1,0) y el B será (1,0), la recta AB será el eje X.
El punto X, por pertenecer a esta semicircunferencia tendrá unas coordenadas de esta forma
X = (c, sqrt(1-c^2))
Calculamos la derivada de la semicircunferencia para calcular la recta tangente.
f´(x)= -x / sqrt(1-x^2)
La recta tangente por el punto X será
y = f(c) + f´(c)(x-c)
y = sqrt(1-c^2) - c(x-c)/sqrt(1-c^2)
y = (1- c^2 - cx + c^2) / sqrt(1-c^2)
y = (1 - cx) / sqrt(1-c^2)
Por otra parte, debemos calcular los puntos Y, Z y la recta que los une
Y es la intersección de la recta x=-1 con la recta que pasa por los puntos (c, sqrt(1-c^2) y (1,0)
y - 0 = sqrt(1-c^2)·(x-1)/(c-1)
Para x=-1
y = -2sqrt(1-c^2)/(c-1)
Luego Y = (-1, -2sqrt(1-c^2)/(c-1))
Z es la intersección de la recta x = 1 con la recta que pasa por los puntos (c, sqrt(1-c^2) y (-1,0)
y - 0 = sqrt(1-c^2)(x+1)/(c+1)
Para x = 1
y = 2sqrt(1-c^2)/(c+1)
Luego Z = (1, 2sqrt(1-c^2)/(c+1))
Y ahora calculamos la recta YZ
(x+1) / 2 = [y + 2sqrt(1-c^2)/(c-1)] / [ 2sqrt(1-c^2)/(c+1) + 2sqrt(1-c^2)/(c-1)
(x+1) / 2 = [y + 2sqrt(1-c^2)/(c-1)] / [ 4c·sqrt(1-c^2)/(c^2-1)]
No hace falta que simplifiquemos de momento, simplemente tenemos que calcular su corte con la recta AB que es y=0 luego
(x+1) / 2 = [ 2sqrt(1-c^2)/(c-1)] / [ 4c·sqrt(1-c^2)/(c^2-1)] = (c+1) / 2c
x+1 = (c+1)/c
x = (c+1)/c -1 = (c+1-c)/c = 1/c
Luego el corte de YZ con AB es (1/c, 0)
Veamos ahora la tangente por el punto X, que hace tiempo habíamos calculado, donde corta al eje X.
Recordemos que era esta:
y = (1 - cx) / sqrt(1-c^2).
Cuando y = 0 tenemos
0 = (1 - cx) / sqrt(1-c^2)
Si c = 1 ó -1 sería X = B ó X=A, supuestos desechados en el enunciado, luego el denominador es distinto de cero y podemos multiplicar en ambos lados por él
0 = 1 - cx
x = 1/c
Luego la recta tangente también pasa por (1/c, 0) que era donde pasaban las otras dos.
Y con esto queda demostrado el problema. En algún momento he podido dar varios pasos en uno en la resolución de las ecuaciones, pero es que es tan odioso escribir con este editor. Si lo pasa a papel con notación normal podrás verificar que está todo bien, eso creo.
Es que tiene toda la pinta de que pueda resolverse por razones dobles, teorema de Desargues o similares, pero no me sale así.
Entonces lo mejor será usar la geometría cartesiana.
Sin perder generalidad, supondremos que la circunferencia tiene radio 1, que está centrada en el origen y que el punto POR tiene tiene positivas ambas coordenadas.
Si alguna fuera negativa se demuestra por simetría. Y si la coordenada en el eje POR fuese nula se comprueba fácilmente que las tres rectas van a ser paralelas.
La ecuación de la circunferencia será:
x^2 + y^2 = 1
La semicircunferencia que estamos considerando es esta (la superior):
y = f(x) = sqrt(1-x^2)
El punto A será (-1,0) y el B será (1,0), la recta AB será el eje X.
El punto X, por pertenecer a esta semicircunferencia tendrá unas coordenadas de esta forma
X = (c, sqrt(1-c^2))
Calculamos la derivada de la semicircunferencia para calcular la recta tangente.
f´(x)= -x / sqrt(1-x^2)
La recta tangente por el punto X será
y = f(c) + f´(c)(x-c)
y = sqrt(1-c^2) - c(x-c)/sqrt(1-c^2)
y = (1- c^2 - cx + c^2) / sqrt(1-c^2)
y = (1 - cx) / sqrt(1-c^2)
Por otra parte, debemos calcular los puntos Y, Z y la recta que los une
Y es la intersección de la recta x=-1 con la recta que pasa por los puntos (c, sqrt(1-c^2) y (1,0)
y - 0 = sqrt(1-c^2)·(x-1)/(c-1)
Para x=-1
y = -2sqrt(1-c^2)/(c-1)
Luego Y = (-1, -2sqrt(1-c^2)/(c-1))
Z es la intersección de la recta x = 1 con la recta que pasa por los puntos (c, sqrt(1-c^2) y (-1,0)
y - 0 = sqrt(1-c^2)(x+1)/(c+1)
Para x = 1
y = 2sqrt(1-c^2)/(c+1)
Luego Z = (1, 2sqrt(1-c^2)/(c+1))
Y ahora calculamos la recta YZ
(x+1) / 2 = [y + 2sqrt(1-c^2)/(c-1)] / [ 2sqrt(1-c^2)/(c+1) + 2sqrt(1-c^2)/(c-1)
(x+1) / 2 = [y + 2sqrt(1-c^2)/(c-1)] / [ 4c·sqrt(1-c^2)/(c^2-1)]
No hace falta que simplifiquemos de momento, simplemente tenemos que calcular su corte con la recta AB que es y=0 luego
(x+1) / 2 = [ 2sqrt(1-c^2)/(c-1)] / [ 4c·sqrt(1-c^2)/(c^2-1)] = (c+1) / 2c
x+1 = (c+1)/c
x = (c+1)/c -1 = (c+1-c)/c = 1/c
Luego el corte de YZ con AB es (1/c, 0)
Veamos ahora la tangente por el punto X, que hace tiempo habíamos calculado, donde corta al eje X.
Recordemos que era esta:
y = (1 - cx) / sqrt(1-c^2).
Cuando y = 0 tenemos
0 = (1 - cx) / sqrt(1-c^2)
Si c = 1 ó -1 sería X = B ó X=A, supuestos desechados en el enunciado, luego el denominador es distinto de cero y podemos multiplicar en ambos lados por él
0 = 1 - cx
x = 1/c
Luego la recta tangente también pasa por (1/c, 0) que era donde pasaban las otras dos.
Y con esto queda demostrado el problema. En algún momento he podido dar varios pasos en uno en la resolución de las ecuaciones, pero es que es tan odioso escribir con este editor. Si lo pasa a papel con notación normal podrás verificar que está todo bien, eso creo.