La derivada de la función

Veamos cuales son las intersecciones

x^3-x = 3x

x^3 - 4x = 0

x(x^2 - 4)=0

las soluciones son x = -2, 0 y 2

La figura la veo simétrica por el punto (0,0) ya que ambas funciones son impares, lo que pasa a un lado del eje Y pasa en el otro pero invirtiendo la imagen de arriba abajo.

Bueno, mejor que lo veas porque con palabras se explica peor.

El área son las dos zonas sombreadas de distinto color, pero son iguales por simetría, luego podemos calcular solo la derecha y multiplicar por 2

$$\begin{align}&Area=2\int_0^2(3x-x^3+x)dx=\\ &\\ &2\int(4x-x^3)dx=2\left[2x^2-\frac{x^4}{4}  \right]_0^2=\\ &\\ &2\left(2·2^2-\frac{16}{4}\right)=2(8-4)=8\end{align}$$

Y eso es todo.