La integral de la siguiente

Vemos que la integral tiene el factor -2t que es la derivada de 9-t^2, eso hace que el cambio 9-t^2 sea muy apropiado.

$$\begin{align}&\int \sqrt{9-t^2}·(-2t)dt=\\ &\\ &z= 9-t^2\quad dz=-2t\;dt\\ &\\ &= \int \sqrt{z}\,dz=\frac{z^{\frac 32}}{\frac 32}+C =\\ &\\ &\frac 23z^{\frac 32}+C = \frac 23 \sqrt{(9-t^2)^3}+C\end{align}$$

Y eso es todo.