Encuentra la ecuación de la recta"r" que pasa por los puntos A(2;3)

a) Hay varias forma de calcular la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Esta no es la que da el resultado más pronto pero es la más fácil de recordar.

Sean los puntos (x1, y1) y (x2, y2)

La ecuación de la recta que pasa por ellos es:

$$\begin{align}&\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}\\ &\\ &\\ &Tenemos\\ &(x_1,y_1) = (2,3)\\ &(x_2,y_2)=(-1,a)\\ &\\ &\frac{x-2}{-1-2}=\frac{y-3}{a-3}\\ &\\ &(a-3)(x-2) = -3(y-3)\\ &\\ &(a-3)x-2a+6= -3y+9\\ &\\ &(a-3)x + 3y -2a-3=0\\ &\\ &\end{align}$$

Y esa es la ecuación general de la que se pueden deducir las otras si lo necesitas.

b) Dada una recta en la forma

Ax + By + C = 0

su vector director es (B, -A)

por tanto el vector perpendicular es (A, B)

ya que el producto escalas (B, -A)(A, B) = AB - AB = 0

y las rectas que tienen vector director (A,B) son

-Bx + Ay + D = 0

Luego dada la recta

(a-3)x + 3y -2a - 3 = 0

las perpendiculares son

-3x + (a-3)y + D = 0

si corta al eje de abscisas en x=4 pasa por el punto (4,0)

-3·4 +(a-3)·0 + D = 0

-12 + D = 0

D =12

Luego la recta es:

-3x + (a-3)y + 12 = 0

o se le puede cambiar el signo

3x + (3-a)y - 12 = 0

c)

Y la recta paralela a una recta tiene el mismo vector director luego los coeficientes A y B son iguales o proporcionales

Las paralelas serán

(a-3)x + 3y + D = 0

si pasa por el origen de coordenadas, eso es el punto 0 0

(a-3)·0 + 3·0 + D = 0

D = 0

por lo que la ecuación es

(a-3)x + 3y = 0

Y eso es todo.