Cual es la suma de riemman de

Dividiremos el intervalo [2,5] en n intervalos, luego la anchura de cada uno será 3/n y la suma de RIemman será

$$\begin{align}&\lim_{n \to \infty}\sum_{i=0}^{n-1}\frac 3n\left[5\left(2+\frac{3i}{n}\right)-6\right]=\\ &\\ &\\ &\lim_{n \to \infty}\sum_{i=0}^{n-1}\frac 3n\left( 10+\frac{15i}{n}-6\right)=\\ &\\ &\\ &\lim_{n \to \infty}\sum_{i=0}^{n-1}\frac 3n\left( 4+\frac{15i}{n}\right)=\\ &\\ &\\ &\lim_{n \to \infty}\frac 3n\sum_{i=0}^{n-1}\left( 4+\frac{15i}{n}\right)=\\ &\\ &\\ &\lim_{n \to \infty}\frac 3n\left(4n+\frac {15}n\sum_{i=0}^{n-1} i\right)=\\ &\\ &12 + 45\lim_{n \to \infty}\frac 1{n^2}\sum_{i=0}^{n-1} i=\\ &\\ &\\ &12 + 45\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^2}\frac{n(n-1+0)}{2}=\\ &\\ &\\ &\\ &12+45\lim_{n \to \infty}\frac{n^2-n}{2n^2}=\\ &\\ &12+\frac{45}{2}=\frac{24+45}{2}=\frac{69}{2}\end{align}$$

Y se puede comprobar que está bien:

$$\begin{align}&\int_2^5(5x-6)dx=\left[\frac{5x^2}{2}-6x  \right]_2^5=\\ &\\ &\frac{125}{2}-30-\frac{20}{2}+12=\\ &\\ &\frac{105}{2}-18=\frac{105-36}{2}=\frac{69}{2}\end{align}$$

Y eso es todo.