¿Cómo es la representación de los números enteros como productos de potencias de primos?

En teoría hay que dividir entre los primos que se pueda hasta que el cociente sea 1. Si además se hace en orden 2, 3, 5, 7, ... mejor que mejor.

Cuando nos dan un producto es una tontería multiplicar para luego hacer las divisiones, se descompone cada factor en factores primos y luego se juntan y s agrupan si es necesario.

a) Vamos a ponerlo como producto

147200 = 1472 · 100

Es que el 100 es uno que sabemos de memoria

100 = 2^2 · 5^2

y el 1472 lo calculamos

1472 | 2
 736 | 2
 368 | 2
 184 | 2
  92 | 2
  46 | 2
  23 |23
   1

1472 = 2^6 · 23

Y el producto

1472 · 100 = 2^6 · 23 · 2^2 · 5^2 = 2^8 · 5^2 · 23

b) Imagino que con 18(365) quieres decir 18 por 365. El 18 lo escribo directamente

18 = 2·3^2

365 | 5
 73 |73
  1

Luego

18(365) = 2 · 3^2 · 5 · 73

c) El cuadrado es un caso especial de producto que se resuelve con que los exponentes son cada un el doble de los exponentes del número. Bueno, usaré las reglas de divisibilidad por 2, 3, 5, y 11 que supongo conoces. Y que dado un número debemos probar factores primos hasta la raíz cuadrada o menos del número, es decir, si un primo al cuadrado es mayor que el número ya no es preciso probar con él ni con los superiores.

2013 | 3
 671 |11
  61 |61

entonces

2013 = 3 · 11 · 61

luego

2013^2 = 3^2 · 11^2 · 61^2

Y eso es rodó.