Teorema Fundamental de la aritmética

1) Pruebe que un entero positivo a (mayor que) 1 es un cuadrado si y solo si en la forma canónica de a todos los exponentes de los primos son pares.
2) Un entero se dice que es libre de cuadrados si este no es divisible por el cuadrado de cualquier entero mayor que 1. Pruebe que
a) Un entero n (mayor que) 1 es libre de cuadrados si y solo si n puede ser factorizado como producto de primos distintos.
b) Cada entero n (mayor que) 1 es el producto de un entero libre de cuadrado y un cuadrado perfecto
3. Verifique que cualquier entero n puede expresarse como n = 2^(k)m donde k (mayor igual que) 0 y m es un entero impar.
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Dianis 1556!
1)
==>)
Sea a un cuadrado mayor que 1, eso significa que existe b >1 tal que b^2 = a
b = (p1^e1)(p2^e2)···(pn^en) es la descomposición en factores primos de b, con n factores primos pi cada uno elevado a un exponente ei
si elevamos al cuadrado
a = b^2 = (p1^(2e1))(p2^2e2)···(pn^(2en))
Obtenemos a como producto de factores primos elevados cada uno a un exponente. Como la descomposición en factores primos es única esta es la descomposición canónica de a y en efecto, los exponentes son todos pares.
<==)
Si los exponentes son todos pares tomemos el número
b = (p1^(e1/2))(p2^(e2/2)···(pn^(en/2))
Con pi y ei los primos y exponentes de a. Entonces b es entero y se comprueba sin complicaciones que su cuadrado es a.
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2a)
==>)
Sea n libre de cuadrados. Si existe un factor primo p con exponente e > 1 entonces n será divisible por p^2 que es un cuadrado y ya no sería libre de cuadrados, luego cada factor primo tiene que tener únicamente exponente 1 y n es un producto de primos distintos.
<==)
Si n es producto de primos distintos nunca se podrá expresar como un primo al cuadrado por algo, ya que la descomposición en factores primos es única. Y por tanto ningún primo al cuadrado podrá dividir a n ni mucho menos un producto de primos al cuadrado que sería cualquier cuadrado que pretendiera dividirlo. Luego n sería libre de cuadrados
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2b) Claro que sí. Cada entero se puede descomponer en factores primos.
n = (p1^e1)(p2^e2)···(pm^em)
Y cada exponente es ei = 2ki + ci
Con ki número natural y ci valiendo 0 ó 1
Tomemos por una parte el numero formado por el productos de factores primos con los exponentes 2ki y por otra el formado por los factores con exponentes ci
El primero es un cuadrado perfecto por tener todos los exponentes pares y el segundo es libre de cuadrados por ser todos los exponentes 0 ó 1.
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3) Si n es impar.
Tomamos k = 0 y tendremos (2^0)·n = 1n = n
O sea, n =(2^0)·n donde n era impar por hipótesis.
Si n es par.
Dividamos n por 2 tantas veces como podamos mientras el resultado que vaya dando sea exacto. Sea m el número de veces que se pudo dividir y c el ultimo cociente que ya no puedo dividirse, y que por lo tanto era impar
n = (2^m)·d con m>=0 y d impar.
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hallas entendido. Si no, pide las aclaraciones que necesites. NO olvides puntuar para cerrar la pregunta.

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