La derivada de la función x

En el denominador tenemos una raíz real doble y dos imaginarias conjugadas. La descomposición es así

$$\begin{align}&\frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2(x^2+1)}=\\ &\\ &\frac{a}{x-1}+\frac {b}{(x-1)^2}+\frac{cx+d}{x^2+1}=\\ &\\ &\frac{a(x-1)(x^2+1)+b(x^2+1)+(cx+d)(x-1)^2}{(x-1)^2(x^2+1)}\\ &\\ &\\ &x^2-2x-1= a(x-1)(x^2+1)+b(x^2+1)+(cx+d)(x-1)^2\\ &\\ &\text{Para x=1}\\ &-2=2b\implies b=-1\\ &\\ &\text {Para x=i}\\ &-1-2i-1= (ci+d)(i-1)^2\\ &-2-2i=(ci+d)(-1-2i+1)\\ &-2-2i=2c-2di\implies c=-1\implies d=1\\ &\\ &\text{Para x=0}\\ &-1=-a+b+d\\ &-1=-a-1+1\implies a=1\\ &\\ &\text{Y la integral queda reducida a}\\ &\\ &\int \frac{dx}{x-1}-\int \frac{dx}{(x-1)^2}+\int \frac{-x+1}{x^2+1}dx=\\ &\\ &ln|x-1|+\frac{1}{x-1}-\frac 12\int \frac{2x-2}{x^2+1}dx=\\ &\\ &\\ &ln|x-1|+\frac{1}{x-1}-\frac 12ln|x^2+1|+arctgx+C\\ &\\ &\end{align}$$

Y eso es todo.