Regla del trapecio o regla de simpson
Use la regla del trapecio o la regla de Simpson y el valor dado de n, para estimar la integral
a)
$$_0 \int ^1 x^2 dx$$
; regla del trapecio, n=5
b)
$$_0 \int ^1 x^2dx$$
; regla del Simpson, n=4
1 Respuesta
a) Dividimos el intervalo en 5 partes
x0 = 0
x1 = 1/5
x2 = 2/5
x3 = 3/5
x4 = 4/5
x5 = 1
Para la fórmula de los trapecios se hace la suma izquierda de los elementos x0 a x4
(1/5)[0+ (1/5)^2 + (2/5)^2 + (3/5)^2 + (4/5)^2] =
(1/125) (0+1+4+9+16) = 30/125 = 6/25
y se hace la suma derecha de los elementos x1 a x5
(1/125)(1+4+9+16+25) = 55/125 = 11/25
Y el resultado es la semisuma de las dos
(6/25 + 11/25) / 2 = (17/25) / 2 = 17/50
cuya representación decimal es 0.34
A lo mejor te han enseñado la fórmula ya completa para hacerlo todo en un solo paso.
[(b-a)/(2n)] [f(xo) + 2f(x1) + 2f(x2) + ....+ 2f(x sub (n-1)) + f(xn)]
Si es así, tras algún paso previo quedaría
(1/250) (0 + 2·1 + 2·4 + 2·9 + 2·16 + 25) = 85/250 = 17/50
b)
Cada suma de simpson toma dos intervalos, por eso n debe ser par
x0 = 0
x1 = 1/4
x2 = 2/4 = 1/2
x3 = 3/4
x4 = 1
La formula de Simpson en el intervalo [x0, x2] es
S = [(b-a)/(3n)] (f(x0) + 4f(x1) + f(x2)]
y similarmente se hace en el intervalo [x2,x4]
S = [(b-a)/(3n)] (f(x2) + 4f(x3) + f(x4)]
Con esto la estimación de Simpson es
(1/12)[0+4·1/16+4/16] + (1/12) (4/16 + 4·9/16 + 16/16) =
[1/(12·16)] ( 0+4+4 + 4+36+16) =
(1/192) (64) = 64/192 = 1/3
Como antes, puede ser que te hayan dado la fórmula o para abreviar que es
S = [(b-a)/(3n)] (f(x0) + 4 f(x1) + 2 f(x2) + 4 f(x3) + 2 f(x4) +... + 4f(x sub (n-1)) + f(xn)]
lo que hay que recordar es la sucesión de coeficientes 1,4,2,4,2,4,2,4,.....,2,4,1
y las operaciones nos habrían llevado a
(1/192) (1·0 + 4·1 + 2·2^2 + 4·3^2 + 1·4^2) = (1/192) (64) = 1/3
