Problemas de variables complejas-b
Dada la función f(z) = (-27x+x^(3) -3xy^(2)) + i(27y-3x^(2)y + y^(3)) hallar los valores z en los complejos tales que f'(z) exista.
1 Respuesta
El exceso de paréntesis no es bueno, mejor usar solo los necesarios
f(z) = -27x + x^3 - 3xy^2 + i(27y-3x^2·y + y^3)
El teorema de la pág 11 de la unidad 3 de derivación de funciones complejas dice que si
f(z) = u(x, y) + i·v(x, y) con zo=xo+i·yo y existen las derivadas parciales de u y v respecto de x y y, entonces cumplir las condiciones de Cauchy-Riemann implican que f es derivable en zo.
Es este caso las funciones u y v son polinómicas, luego son derivables y con derivadas parciales continuas de toda la vida.
Los puntos donde se cumplan las condiciones de Cauchy-Riemann serán los puntos derivables.
Las condiciones de C-R son:
$$\begin{align}&1) \quad \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\ &\\ &\\ &2)\quad \frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &1) \quad-27+3x^2 =27-3x^2+3y^2\\ &\\ &2)\quad -6xy = 6xy \implies xy=0\\ &\\ &\\ &Si \; x=0\\ &\\ &-27=27+3y^2\\ &\\ &3y^2=-54\\ &\\ &y^2=-18\\ &\\ &y=\pm 3i \sqrt 2\\ &\\ &\\ &Si \; y=0\\ &\\ &-27+3x^2 =27-3x^2\\ &\\ &6x^2=54\\ &\\ &x^2=9\\ &\\ &x=\pm3\\ &\\ &\\ &\text{Luego es derivable es estos 4 puntos}\\ &\\ &(0, 3i \sqrt 2)\\ &(0,-3i \sqrt 2)\\ &(3,0)\\ &(-3,0)\end{align}$$Y eso es todo.
