¿Cómo resolver el siguiente límite mates?
Hola a todos ,
Alguien me puede ayudar a resolver el siguiente límite.
x----->0 (e^x-cos(x)-x) / (e^2x-cos(2x)-2x)
Aquí os dejo una imagen del límite por si alguien no entiende lo que pone arriba:
Pasos y gracias de antemano.
1 Respuesta
Más importante que el límite en sí son las herramientas que nos dejan usar. Sin la regla de l'Hôpital o la fórmula de Taylor la mayoría de los límites se quedarían sin resolver o tendría que haber un cuerpo de expertos en esas lides. Y este me parece que sería uno de esos. Así que voy a usar la regla de l'Hopital que dice que podemos calcular el límite sustituyendo numerador y denominador por sus respectivas derivadas. Y si estas no sirven para eliminar la indeterminación, por las siguientes derivadas tantas veces como sea necesario.
Derivamos por lo tanto numerador y denominador por separado
lim x-->0 de (e^x-cos(x)-x) / (e^(2x)-cos(2x)-2x) =
lim x-->0 de (e^x+senx -1) / (2e^(2x)+2sen(2x)-2) =
vemos que el límite sería (1+0-1) / (2+0-2) = 0/0 luego no nos sirve y derivaremos otra vez
lim x-->0 de (e^x+cosx) / (4e^(2x) +4cos(2x)) = 1/4
Luego el límite es 1/4.
Y eso es todo.
muxxxisimas gracias por la respuesta me sacó de dudas. Solamente quería una aclaración respecto a este ejercicio, se tuviéramos que resolver el límite anterior sin usar la regla de l'hopital, es decir solamente factorizando, ¿en este caso seria posible ?
Eso es lo primero que intente, pero no me salía nada. Las tres funciones esas no pegan ni con cola, a no ser que hubiera sido una expresión muy preparada no se puede hacer nada con ellas. Las expresiones con polinomios y trigonométricas dan algo de juego pero por si solas, pero cuando se mezclan suelen ser insimplificables.
De verdad te digo que no veo nada. La primera idea que se ocurre es cambiar:
cos(2x) = cos^2(x) - sen^2(x)
Pero con eso no se consigue nada.
Y eso es todo.
