Resuelva los siguientes problemas utilizando polinomio Taylor

Haremos el desarrollo de MacLaurin en x=0

Las derivadas son

f '(x) = -senx ==> f '(0) = 0

f ''(x) =-cosx ==> f ''(0) = -1

f '''(x) = senx ==> f '''(0) = 0

f ''''(x) = cosx ==> f ''''(0) = 1

Y hemos vuelto al valor inicial, luego se repiten los valores de nuevo

Debemos transformar los 9º a radianes

9º = 9/180 rad = Pi/20 rad

Otra cosa a tener en cuenta es el error, debemos calcular hasta que término debemos calcular para que el error sea menor que 10^(-5)

La fórmula de Taylor con término complementario es

$$\begin{align}&f(x) = f(a) + f´(a)(x-a)+\frac{f´´(a)}{2!}(x-a)^2+···\\ &+\frac{f^n(a)}{n!}(x-a)^n+\frac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}\\ &\\ &con \;\xi\text{ un valor intermedio entre a y x}\\ &\\ &cosx = 1 -\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}-...\\ &\\ &+(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}+(-1)+(-1)^{n+1}\frac{x^{2n+2}\cos\xi}{(2n+2)!}\\ &con\; 0\lt \xi \lt \frac {\pi}{20}\\ &\\ &\text {el valor máximo de } \cos\xi\text{ será 1}\\ &\\ &\left|(-1)^{n+1}\frac{x^{2n+2}\cos\xi}{(2n+2)!}\right|\lt \frac{\left(\frac {\pi}{20}\right)^{2n+2}}{(2n+2)!}<10^{-5}\\ &\\ &Calculamos\\ &n=1 \implies \frac{\left(\frac {\pi}{20}\right)^{2n+2}}{(2n+2)!}=2.536695\times 10^{-5}\\ &\\ &n=2 \implies \frac{\left(\frac {\pi}{20}\right)^{6}}{6!}=2.086348\times 10^{-8}\\ &\\ &\text {luego con n=2 es suficiente}\\ &\text{¡Pero ojo! Eso significa el término 2n=4}\\ &\text{Ya que definimos n de esa forma rara para}\\ &\text{controlar los signos + y - de la derivada}\\ &\\ &\cos \frac{\pi}{20} = 1 -\frac{\left(\frac{\pi}{20}\right)^2}{2}+\frac{\left(\frac{\pi}{20}\right)^4}{4!}=\\ &\\ &1-\frac{\pi^2}{800}+\frac{\pi^4}{3840000}=0.9876883614\\ &\\ &\end{align}$$

Veamos el valor de la calculadora

cos 9º = 0.9876883406

La diferencia es 2.0854289 · 10^{-8} menor de la permitida, luego está bien.

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Siento lo del lío de los términos 2n, mejor hubiera sido usar términos n obligando a que fueran pares. O usar el ingenioso sistema que he visto en este libro donde el término enésimo es:

cos(n·pi/2)·x^n/n!

Pero este no me gusta no se ve tan claro que los impares son cero.