La integral de

Es medio inmediata, pero la haremos con cambio de variable. La verdad es que no sé como querría que las hicieseis vuestro profesor, con creatividad o con un método seguro. LO que hay que darse cuenta es que el coseno es la derivada del seno, eso nos hace ver que la parte cos(3x)·dx es parte de la derivada de un cambio t=sen(3x) y va a simplificarse el coseno.

$$\begin{align}&\int sen^2(3x)\cos(3x) dx=\\ &\\ &\\ &t=sen(3x)\quad dt=3cos(3x)\,dx \implies \cos(3x)dx=\frac{dt}{3}\\ &\\ &\\ &=\int t^2·\frac{dt}{3}= \frac 13 \int t^2dt = \\ &\\ &\\ &\frac 13 ·\frac{t^3}{3}+C = \frac{t^3}{9}+C=\\ &\\ &\\ &\frac{sen^3(3x)}{9}+C\end{align}$$

Y eso es todo.