Ayudenme este ejercicio aplicando integrales.. Daré puntos. Gracias

La fórmula para la longitud del arco de una curva dada en ecuaciones paramétricas

x=f(t)

y=g(t)

t € [a,b]

es

$$\begin{align}&s=\int_a^b \sqrt{[f'(t)]^2+[g'(t)]^2}\;dt\\ &\\ &\text{en este caso}\\ &\\ &f(t)=2cos t -\cos 2t\\ &f'(t) = -2sen\,t +2sen\,2t\\ &\\ &g(t)=2sen\,t-sen\,2t\\ &g'(t)=2cos t-2cos2t\\ &\\ &s=\int_0^{2\pi}\sqrt{(-2sen\,t +2sen\,2t)^2+(2cos t-2cos2t)^2}\;dt=\\ &\\ &\int_0^{2\pi}2 \sqrt{sen^2t+sen^22t-2sen\,t·sen\,2t+\cos^2t+\cos^22t-2cos t·\cos 2t}=\\ &\\ &2 \int_0^{2\pi}\sqrt{1+1-2(sen\,t·sen\,2t+\cos t·\cos 2t)}=\\ &\\ &\text{recordar que }\cos(a-b)=cosa·cosb+sena·senb\\ &\\ &2 \int_0^{2\pi}\sqrt{2-2cos (t-2t)}=\\ &\\ &\text {y que } \cos t = \cos(-t)\\ &\\ &2 \int_0^{2\pi}\sqrt{2-2cos t}=\\ &\\ &2 \sqrt 2 \int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos t}\end{align}$$

Esta integral me parece que no es fácil precisamente. Voy a dejar el factor que multiplica y los límites para centrarme en la fundamental. En la teoría debes tener todo sobre el tipo de cambio tg(t/2)= z que vamos a usar, sobre los valores que toma sent, cost y dt

$$\begin{align}&\int \sqrt{1-cost}\; dt=\\ &tg \frac t2=z,\quad cost = \frac{1-z^2}{1+z^2},\quad dt=\frac{2dz}{1+z^2}\\ &\\ &=\int \sqrt{1-\frac{1-z^2}{1+z^2}}·\frac{2dz}{1+z^2}=\\ &\\ &2\int \sqrt{\frac{1+z^2-1+z^2}{1+z^2}}·\frac{dz}{1+z^2}=\\ &\\ &2\sqrt 2 \int \frac z{(1+z^2)^{3/2}}dz=\\ &\\ &2 \sqrt 2 \int z(1+z^2)^{-3/2}dz=\\ &\\ &\sqrt 2 \int 2z(1+z^2)^{-3/2}dz=\\ &\\ &u= 1+z^2, du=2zdz\\ &\\ &=\sqrt 2\int u^{-3/2}du=\\ &\\ &\sqrt 2·\frac 1{-\frac 12}u^{-1/2}= -\frac {2 \sqrt 2}{\sqrt u}=\\ &\\ &-\frac{2 \sqrt 2}{\sqrt{1+z^2}}= -\frac{2 \sqrt 2}{\sqrt{1+tg^2 \frac t2}}=\\ &\\ &-\frac{2 \sqrt 2}{\sqrt{\frac{1}{\cos^2 \frac t2}}}=-2 \sqrt 2 \left|\cos \frac t2\right|\end{align}$$

Volvemos a la integral definida que habíamos dejado

$$\begin{align}&2 \sqrt 2 ·(-2 \sqrt 2)\left[\left|\cos \frac t2  \right|\right]_0^{2\pi}=\\ &En\;[0,\pi]\quad \cos \frac t2\ge 0\\ &En\;[\pi,2\pi]\quad \cos \frac t2\le 0\\ &\\ &=-8\left( \left.\cos \frac t2\right|_0^{\pi}-\left.\cos \frac t2\right|_{\pi}^{2\pi} \right)=\\ &\\ &-8(0-1-1+0) =16\end{align}$$

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Sobre todo aprende a evitar un error muy frecuente, la raíz cuadrada de x^2 no es x, es |x|.