Forma esférica de modo que su volumen se incrementa con una velocidad de...

Se infla un globo en forma esférica de modo que su volumen se incrementa con una velocidad de 3m3/min. ¿A qué razón aumenta el diámetro cuando éste es de 10m?

Respuesta
2

Consideraremos el volumen como función del diámetro y el diámetro como función del tiempo.
Primero se calcula el volumen como función de t que es sencillo
V(t) = 3t
Con t en minutos y V en m^3
Y la derivada es bien sencilla también
dV/dt = 3
Ahora ponemos el volumen como función del diámetro aplicando la fórmula del volumen de la esfera
V(d) = (4/3)Pi (d/2)^3
Ahora derivamos esto respecto a t teniendo en cuenta que d es una función del tiempo.

$$\begin{align}&\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dd}·\frac{dd}{dt}=\\ &\\ &\frac 43\pi·3 \left(\frac d2\right)^2·\frac 12·\frac {dd}{dt}=\\ &\\ &\frac {\pi d^2}{2}·\frac{dd}{dt}\\ &\\ &luego\\ &\\ &\frac{dd}{dt}=\frac{dV}{dt}·\frac{2}{\pi d^2}\\ &\\ &\text{como }\frac{dV}{dt}= 3\\ &\\ &\frac{dd}{dt}=\frac{6}{\pi d^2}\\ &\\ &\text{y la derivada cuando d= 10 será}\\ &\\ &\left. \frac{dd}{dt}\right|_{d=10}=\frac{6}{\pi·10^2}=\frac{3}{50\pi}\end{align}$$

Y eso es todo.

Añade tu respuesta

Haz clic para o

Más respuestas relacionadas