Una demostración del tema de potencia

Demuestre que la velocidad alcanzada por un automóvil de masa m que es impulsdo por una potencia constante P esta dada por
v = (3*x*P/m)^(1/3)
Donde por es la distancia recorrida desde el reposo
Espero me puedan ayudar ya le intente de muchas maneras y no me sale

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Aquí te explico la demostración:
P -> Potencia constante.
x(t) -> Distancia recorrida desde el reposo en función del tiempo.
v(t) - > Velocidad del automóvil en función del tiempo.
W(t) - > Trabajo ("Work") realizado al desplazarse el automóvil en función del tiempo.
Sabiendo que el trabajo es la integral de la fuerza que empuja al automóvil por el diferencial de desplazamiento:
W(t) = integral(F*d[x(t)])
Derivando ambos miembros respecto del tiempo obtenemos:
d[W(t)] / dt = d / dt [integral(F*d[x(t)]] ;             lo cual queda así
d[W(t)] / dt = (F*d[x(t)]) / dt ;
Como la derivada del trabajo con respecto al tiempo es la potencia que es constante tendremos los siguiente:
P = F*d[x(t)] / dt ;   Sabiendo que la fuerza es la masa multiplicada por la aceleración tendremos lo siguiente:
P = (m*a*d[x(t)]) / dt;  Sabiendo que la aceleración es la derivada de la velocidad con respecto del tiempo tendremos lo siguiente:
P = m*(d[v(t)] / dt )* d[x(t)] / dt; Como d[x(t)] / dt = v(t) la expresión nos queda así:
P = m*d[v(t)] / dt * v(t);
Ahora si multiplicamos por v(t) a ambos lados de la ecuación se nos queda:
P*v(t) = m*d[v(t)] / dt * [v(t)]^2
Como resulta que v(t) = d[x(t)] / dt, podemos poner en la ecuación:
P*d[x(t)] / dt = m*d[v(t)] / dt * [v(t)]^2
Los diferenciales de "t" se simplifican a cada lado de la ecuación quedando lo siguiente:
P*d[x(t)] = m*d[v(t)]* [v(t)]^2
Pasamos la masa dividiendo al lado izquierdo de la ecuación:
(P/m)*d[x(t)] = [v(t)]^2 * d[v(t)]
Integramos ambos miembros de la ecuación quedando lo siguiente:
(P/m)*x(t) = 1/3*[v(t)]^3
Pasando el tres multiplicando hacia la izquierda y sacando raíz cúbica a la velocidad llegamos a la expresíon final deseada:
v(t) = [3*(P/m)*x(t)]^(1/3)
Espero que lo entiendas y te haya sido de utilidad, un gran abrazo.
Vitolinux
Tu solución me parece excelente, lo explicas de una manera muy simple ya había intentado integrando pero algo me fallaba muchas gracias por tu respuesta

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