Una demostración del tema de potencia

Aquí te explico la demostración:
P -> Potencia constante.
x(t) -> Distancia recorrida desde el reposo en función del tiempo.
v(t) - > Velocidad del automóvil en función del tiempo.
W(t) - > Trabajo ("Work") realizado al desplazarse el automóvil en función del tiempo.
Sabiendo que el trabajo es la integral de la fuerza que empuja al automóvil por el diferencial de desplazamiento:
W(t) = integral(F*d[x(t)])
Derivando ambos miembros respecto del tiempo obtenemos:
d[W(t)] / dt = d / dt [integral(F*d[x(t)]] ;             lo cual queda así
d[W(t)] / dt = (F*d[x(t)]) / dt ;
Como la derivada del trabajo con respecto al tiempo es la potencia que es constante tendremos los siguiente:
P = F*d[x(t)] / dt ;   Sabiendo que la fuerza es la masa multiplicada por la aceleración tendremos lo siguiente:
P = (m*a*d[x(t)]) / dt;  Sabiendo que la aceleración es la derivada de la velocidad con respecto del tiempo tendremos lo siguiente:
P = m*(d[v(t)] / dt )* d[x(t)] / dt; Como d[x(t)] / dt = v(t) la expresión nos queda así:
P = m*d[v(t)] / dt * v(t);
Ahora si multiplicamos por v(t) a ambos lados de la ecuación se nos queda:
P*v(t) = m*d[v(t)] / dt * [v(t)]^2
Como resulta que v(t) = d[x(t)] / dt, podemos poner en la ecuación:
P*d[x(t)] / dt = m*d[v(t)] / dt * [v(t)]^2
Los diferenciales de "t" se simplifican a cada lado de la ecuación quedando lo siguiente:
P*d[x(t)] = m*d[v(t)]* [v(t)]^2
Pasamos la masa dividiendo al lado izquierdo de la ecuación:
(P/m)*d[x(t)] = [v(t)]^2 * d[v(t)]
Integramos ambos miembros de la ecuación quedando lo siguiente:
(P/m)*x(t) = 1/3*[v(t)]^3
Pasando el tres multiplicando hacia la izquierda y sacando raíz cúbica a la velocidad llegamos a la expresíon final deseada:
v(t) = [3*(P/m)*x(t)]^(1/3)
Espero que lo entiendas y te haya sido de utilidad, un gran abrazo.
Vitolinux