Dado z = x+iy
f(z) = f(x+iy) = (1+i)(x+iy) = x+ìy+ix +i^2·y = (x-y)+i(x+y)=
sustituyendo el valor y de la recta y=x+1
= (x-x-1) +i(x+x+1) = -1+i(2x+1)
luego el el plano uv la transformación de la recta
u = -1
v = 2x+1
esto es una recta vertical, la recta u=-1.
Este es el método de los apuntes que me han dejado de la Universidad Abierta y a Distancia de México. Yo los resolvía de otra forma y lo haré así para asegurarme.
La recta y = x+1 tiene los puntos complejos de la forma
x + i(x+1)
Que al transformarlos quedan en
(1+i)[x+i(x+1)] = (1+i)(x+ix+i) = x + ix + i + ix - x -1 = -1 + 2ix +i = -1 + i(2x+1)
Y esos puntos son los de una recta vertical pasando por la abcisa -1 (lo mismo me da llamar x que u a esa abcisa, es que con el sistema u, v no me entero)
En resumen, recta vertical pasando por el -1 del eje horizontal.