Problemas de combinatoria
Hola, tengo un par de problemillas de estadística que dudo en la solución, a ver si me puedes exar una mano:
El primero:
Una caravana publicitaria consta de 6 coches y 6 furgonetas, siendo todos los vehículos de diferente color. ¿De cuántas formas diferentes puede organizarse la fila de la caravana, con la condición de que no circules 2 furgonetas juntas?
El segundo:
¿De cuántas maneras se puede repartir 3 caramelos de menta y 4 de fresa entre 7 niños de forma que cada uno reciba un caramelo?
¿Cuál seria la solución de los dos problemas? La solución que he sacado del primero seria (te lo pongo con letras): Variaciones de 6 elementos (coches) tomados de 1 en 1 por Variaciones de 6 elementos (furgonetas) tomados de 1 en 1 = 36 formas
La del Segundo seria: Combinaciones de 7 elementos tomados de 3 en 3 (de menta) por combinaciones de 7 elementos tomados de 4 en 4 (de fresa).
¿Es correcto estas soluciones?
Muchas gracias! Saludos
El primero:
Una caravana publicitaria consta de 6 coches y 6 furgonetas, siendo todos los vehículos de diferente color. ¿De cuántas formas diferentes puede organizarse la fila de la caravana, con la condición de que no circules 2 furgonetas juntas?
El segundo:
¿De cuántas maneras se puede repartir 3 caramelos de menta y 4 de fresa entre 7 niños de forma que cada uno reciba un caramelo?
¿Cuál seria la solución de los dos problemas? La solución que he sacado del primero seria (te lo pongo con letras): Variaciones de 6 elementos (coches) tomados de 1 en 1 por Variaciones de 6 elementos (furgonetas) tomados de 1 en 1 = 36 formas
La del Segundo seria: Combinaciones de 7 elementos tomados de 3 en 3 (de menta) por combinaciones de 7 elementos tomados de 4 en 4 (de fresa).
¿Es correcto estas soluciones?
Muchas gracias! Saludos
Respuesta de dudoso2
1
Te respondo.
En cuanto a la segunda pregunta la solución es la siguiente:
Tenemos 3 caramelos de menta y 4 de fresa. Los tenemos que repartir entre 7 niños de modo que cada uno tiene que recibir uno.
Supongamos que la situación es la siguiente:
(Abajo se indican los lugares (en este caso serían los niños) para los caramelos)
- - - - - - -
Primero escogemos los lugares para los caramelos de menta que son 3. Esto se hace con combinaciones de 7 sobre 3, esto es, nos da a lugar el nº de subconjuntos tomados de 3 entre 3 de 7 que existen.
Y luego, una vez fijados los sitios para los de menta, nos quedan los 4 para los 4 de fresa, lo que sería, combinaciones de 4 en 4.
Por tanto, la solución es:
Combinaciones de 7 sobre 3 * Combinaciones de 4 sobre 4 =
(7!/(4!*3!))*(4!/(4!0!))= 35.
En cuanto a la segunda pregunta la solución es la siguiente:
Tenemos 3 caramelos de menta y 4 de fresa. Los tenemos que repartir entre 7 niños de modo que cada uno tiene que recibir uno.
Supongamos que la situación es la siguiente:
(Abajo se indican los lugares (en este caso serían los niños) para los caramelos)
- - - - - - -
Primero escogemos los lugares para los caramelos de menta que son 3. Esto se hace con combinaciones de 7 sobre 3, esto es, nos da a lugar el nº de subconjuntos tomados de 3 entre 3 de 7 que existen.
Y luego, una vez fijados los sitios para los de menta, nos quedan los 4 para los 4 de fresa, lo que sería, combinaciones de 4 en 4.
Por tanto, la solución es:
Combinaciones de 7 sobre 3 * Combinaciones de 4 sobre 4 =
(7!/(4!*3!))*(4!/(4!0!))= 35.
Ok, vale. Cuando me lo respondas te puntúo. Muchas gracias!
Se me ha olvidado decir que el segundo problema se puede resolver de este modo también:
En lugar de fijar los lugares para los caramelos de menta los fijamos para los de fresa. Con esto concluimos que nos encontramos ante una combinación de 7 elementos tomados de 4 en 4. Una vez determinados los niños que van a comer los caramelos de fresa ya conocemos quienes van a comer los de menta, el resto precisamente, que es lo mismo que decir que Combinaciones de 3 elementos tomados de 3 en 3.
Por tanto, la solución es:
(7 4)*(3 3) = (7!/(4!*3!))*(3!/(3!*0!))=35.
La solución es la misma.
En lugar de fijar los lugares para los caramelos de menta los fijamos para los de fresa. Con esto concluimos que nos encontramos ante una combinación de 7 elementos tomados de 4 en 4. Una vez determinados los niños que van a comer los caramelos de fresa ya conocemos quienes van a comer los de menta, el resto precisamente, que es lo mismo que decir que Combinaciones de 3 elementos tomados de 3 en 3.
Por tanto, la solución es:
(7 4)*(3 3) = (7!/(4!*3!))*(3!/(3!*0!))=35.
La solución es la misma.
Mañana te respondo la segunda parte... casi lo tengo
Ok, muchas gracias, de verdad. Le exaré un vistazo y si tengo algún problemilla ya te contaré, saludos
Aquí estoy de nuevo...
Para determinar el nº de veces que 6 coches diferentes y 6 furgonetas diferentes desfilen de modo que 2 furgonetas no desfilen juntas es más fácil quitar a todas la posibilidades de ordenación las opciones en las que 2 furgonetas se encuentren juntas.(Sólo 2 furgonetas, así entiendo por lo menos).
Todas las opciones posibles son 12!, esto es, permutaciones de de todos los elementos.
Veamos cuantas veces nos encontramos 2 furgonetas juntas.
Primero las elegimos, --> variaciones de 6 elementos de 2 en 2 (V6, 2 = 30, si las furgonetas hubiesen sido iguales, estaríamos ante una combinación).
Una vez elegidas las furgonetas, debemos elegir el lugar de colocación, --> hay 11 maneras distintas...
1º
FF _ _ _ _ _ _ _
2º
_ FF _ _ _ _ _ _
Y así de forma sucesiva...
Lo que sí debemos de determinar, una vez colocados las dos furgonetas en cada lugar, las diferentes ordenaciones de los demás vehículos.
Diferenciamos dos casos:
1º si las 2 Fs están al inicio o al final del desfile.
En este caso: (el nº de casos es igual por lo que explico cuando las Fs están en primer lugar.)
F F _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
De forma obligatoria, en el tercer lugar debe haberun coche. Para elegir ese coche hay 6 maneras distintas.
En el resto de los 9 lugares, tendremos la secuencia CFCFCFCFC y luego las demás secuencias trasladadas...(9 en total). Para colocar estos vehículos hay
V6,5*V4,4 formas.
Por lo tanto, en este caso, hay 2*9*V6,5*V4,4 formas.
2º
Si las furgonetas van en el centro, la situación es la siguiente (9 situaciones)
_ _ _ _ F F _ _ _ _ _ _
Delante y detrás de cada furgoneta, debe haber un coche, por lo que y el resto son variaciones sin repiticion. Por tanto, y por casualidades de la vida, sale que lo mismo que en caso 1º:
9*8*V6,5*V4,4
Sumando y operando todo...
La solución sería:
12!-(2*9+9*8)*V6,5*V4,4
= 432345600 veces.
(creo que he hecho bien los cálculos..)
Un saludo, siento por el retraso, y si tienes alguna cuestión dímelo.
Para determinar el nº de veces que 6 coches diferentes y 6 furgonetas diferentes desfilen de modo que 2 furgonetas no desfilen juntas es más fácil quitar a todas la posibilidades de ordenación las opciones en las que 2 furgonetas se encuentren juntas.(Sólo 2 furgonetas, así entiendo por lo menos).
Todas las opciones posibles son 12!, esto es, permutaciones de de todos los elementos.
Veamos cuantas veces nos encontramos 2 furgonetas juntas.
Primero las elegimos, --> variaciones de 6 elementos de 2 en 2 (V6, 2 = 30, si las furgonetas hubiesen sido iguales, estaríamos ante una combinación).
Una vez elegidas las furgonetas, debemos elegir el lugar de colocación, --> hay 11 maneras distintas...
1º
FF _ _ _ _ _ _ _
2º
_ FF _ _ _ _ _ _
Y así de forma sucesiva...
Lo que sí debemos de determinar, una vez colocados las dos furgonetas en cada lugar, las diferentes ordenaciones de los demás vehículos.
Diferenciamos dos casos:
1º si las 2 Fs están al inicio o al final del desfile.
En este caso: (el nº de casos es igual por lo que explico cuando las Fs están en primer lugar.)
F F _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
De forma obligatoria, en el tercer lugar debe haberun coche. Para elegir ese coche hay 6 maneras distintas.
En el resto de los 9 lugares, tendremos la secuencia CFCFCFCFC y luego las demás secuencias trasladadas...(9 en total). Para colocar estos vehículos hay
V6,5*V4,4 formas.
Por lo tanto, en este caso, hay 2*9*V6,5*V4,4 formas.
2º
Si las furgonetas van en el centro, la situación es la siguiente (9 situaciones)
_ _ _ _ F F _ _ _ _ _ _
Delante y detrás de cada furgoneta, debe haber un coche, por lo que y el resto son variaciones sin repiticion. Por tanto, y por casualidades de la vida, sale que lo mismo que en caso 1º:
9*8*V6,5*V4,4
Sumando y operando todo...
La solución sería:
12!-(2*9+9*8)*V6,5*V4,4
= 432345600 veces.
(creo que he hecho bien los cálculos..)
Un saludo, siento por el retraso, y si tienes alguna cuestión dímelo.
