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No hay figura, supongo que por cono invertido se entiende que el vértice está abajo y se llena por arriba por la parte ancha.
Debemos calcular la variación de la altura del nivel del agua con el tiempo, es decir la derivada de la altura respecto del tiempo. Si la altura es una función del tiempo
h(t)
Habrá que calcular
h'(t)
en el momento en que h(t) = 6
Por el método que lo vamos a calcular no hará falta saber el instante t en que la altura es 6 metros, pero sabremos la velocidad y el cálculo es bastante sencillo.
Se basa en la regla de la cadena que dice
V '(t) = V '(h) · h'(t)
El volumen del cono en función del tiempo será
V(t) = 3t
y la derivada del volumen respecto del tiempo será
V'(t) = 3
Ahora expresaremos el volumen como función de la altura del nivel del agua.
Sabemos que el volumen del cono es
V = (1/3)Pi·h·r^2
El radio de la circunferencia del nivel del agua y la altura del nivel junto a la diagonal que los une forman un triángulo rectángulo. Todos esos triángulos rectángulos a lo kargo del tiempo son semejantes por tener los mismos ángulos, y por tanto los lados son proporcionales. La relación entre el radio y la altura será la misma que la del cono entero
r/h = 2/10
r = 2h/10 = h/5
Con esto el volumen en función de la altura será
V(h) = (1/3)Pi·h(h/5)^2 = Pi·h^3 / 75
Si derivamos respecto de h tenemos
V '(h) = Pi·h^2 / 25
Ahora vamos a aplicar la regla de la cadena
V '(t) = V '(h) · h'(t)
y sustituimos los valores que hemos calculado previamente
3 = [Pi·h^2 / 25] · h'(t)
Es este h'(t) lo que nos pide el enunciado.
h'(t) = 75 / [Pi·h^2]
Y nos pueden darle el valor cuando h=6
h'(t) = 75 / (36Pi) m/min
Ese es resultado exacto, con decimales sería
0.6631455962 m/min
Y eso es todo.
