Calculo Diferencial: Problema de optimización para encontrar las dimensiones de un clilindro inscrito en un cono

El volumen del cilindro será

V = Pi·r^2·h

Pero el radio y la altura están relacionados ya que el cono impone el radio para cada altura o viceversa

Así a una altura h del cilindro corresponde un radio 0 y a una altura 0 le corresponde un radio r.

Sabemos que la relación es una ecuación lineal

La recta que une los puntos (r, 0) y (0, h) es

(x-r)/(-r) = y/h

h(x-r) =-ry

hx - hr = -ry

y = (hx-hr)/(-r)

y = h - hx/r

El borde superior del cilindro estará en esa recta, luego a un radio x del cilindro corresponderá la altura y=h-hx/r

Podemos por tanto poner el volumen del cilindro en función de la variable x

V(x) = Pi·x^2·(h - hx/r) = Pi·h(x^2 - x^3/r)

Derivamos para calcular el máximo

V'(x) = Pi·h(2x - 3x^2/r) = 0

2x - 3x^2/r = 0

x= 0 es una solución, pero el volumen sería cero, luego no sería el máximo

2 -3x/r = 0

3x/r = 2

x = 2r/3.

Y entonces el valor de y es

y = h - h(2r/3)/r = h-h(2/3) =h/3

Luego las dimensiones son

Radio del cilindro = 2r/3

Altura del cilindro = h/3

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no es así pregúntame y si ya está bien no olvides puntuar para tener derecho a futuras preguntas.