¿Cómo se integra por sustitución trigonométrica?

Dependiendo de la forma del radicando existen unos cambios que hacen que desaparezca la raíz cuadrada. En concreto, si la forma del radicando es

m^2·x^2 - n^2

El cambio es

x = (n/m)sec8t)

en este caso será

x= 2sec(t)

Vamos a resolver

$$\begin{align}&\int x \sqrt{x^2-4}dx =\\ &\\ &x = 2sect\quad\quad dx= 2tgt·sect·dt\\ &\\ &\\ &\\ &=\int 2sect \sqrt{4sec^2t-4}\;2tgt·sect·dt=\\ &\\ &=\int 2sect \sqrt{4tg^2t}\;2tgt·sect·dt\\ &\\ &=\int 2sect·2tgt·2tgt·sect·dt =\\ &\\ &=8 \int sec^2t·tg^2t·dt =\\ &\\ &z=tgt\quad dz=sec^2t·dt\\ &\\ &=8\int z^2dz =8 \frac{z^3}{3}+C=\\ &\\ &\text{Deshacemos los cambios}\\ &\\ &= \frac{8tg^3t}{3}=\\ &\\ &\text{Si x =2sect} \implies cost=\frac 2x\implies sent=\sqrt{1-\frac{4}{x^2}}\\ &\\ &tgt=\frac{\sqrt{1-\frac{4}{x^2}}}{\frac 2x}=\frac{\frac{\sqrt{x^2-4}}{x}}{\frac 2x}=\frac{\sqrt{x^2-4}}{2}\\ &\\ &\text{Lugo deshaciendo el cambio queda}\\ &\\ &=\frac{8\left(\frac{\sqrt{x^2-4}}{2}\right)^3}{3}+C=\frac{(\sqrt{x^2-4})^3}{3}+C\end{align}$$

Y eso es todo, he procurado hacer todos los pasos para que no te pierdas. Es medio imposible meter más comentarios en el editor de ecuaciones, el ordenador se congela si metes mucho texto ahí.

Si no entendiste algo preguntámelo. Y si ya está bien no olvides puntuar para poder hacer más preguntas.