Calculo de integral por cambio de variable
hola valeroasm!
estoy en el curso de calculo integral y estamos viendo el calculo de integrales por sustitución o cambio de variable, yo tengo estoy haciendo ejercicios para practicar el tema pero dí con un ejercicio algo complejo para lo que se hasta el momento, haber si me puedes colaborar y de antemano muchas gracias. Es este:
$$\int_{}^{} \sqrt{\frac{a+x}{a-x}}\ dx$$explicame solamente usando cambio de variable y las reglas de integración ya que no se otras técnicas para llegar solucionar el ejercicio, muchas gracias.
1 respuesta
Si que parece algo complejo el ejercicio. Después de varias pruebas elijo este cambio
y=sqrt(a-x)
x = a-y^2
dx = -2ydy
Y la integral queda
$$\int \frac{\sqrt{2a-y^2}}{y}(-2y)dy = -2\int \sqrt{2a-y^2}dy$$Y ahora otro cambio
y = sqrt(2a)sent
dy =sqrt(2a)cost dt
Y la integral queda
$$\begin{align}&-2\int \sqrt{2a-2asen^2t}·\sqrt{2a}\cos t dt =\\ &\\ &-2a\int2cos^2 t dt =\\ &\\ &-2a\int(1+\cos 2t) dt =\\ &\\ &-2a \left ( t+\frac{sen 2t}{2} \right )+c =\\ &\\ &-2a(t+sen t·\cos t)+c\end{align}$$Se han usado un par de fórmulas trigonométricas que supóngo conocerás:
cos^2(b) = [1+cos(2b)]/2
sen(2a) = 2sena·cosa
Y ahora toca deshacer los dos cambios de variable, o haré sin el editor de ecuaciones que es incomodísimo de usar y si lo revisas con papel lo entenderás mejor.
Este último era
y = sqrt(2a)sent
luego t = arcsen[y/sqrt(2a)]
aplicamos estas dos igualdades
sen[arcsen(b)]=b
cos[arcsen(b)] = sqrt(1-b^2)
= -2a{arcsen[y/sqrt(2a)] + [y/sqrt(2a)]·sqrt{1-[y/sqrt(2a)]^2}}+ C =
Veo que es imposible entenderlo, lo pondré con el editor
$$\begin{align}&-2a \left ( arcsen \left ( \frac{y}{\sqrt{2a}} \right )+ \frac{y}{\sqrt{2a}}\sqrt{1-\frac{y}{\sqrt{2a}}} \right )+c=\\ &\\ &\\ &-2a \left ( arcsen \left ( \frac{y}{\sqrt{2a}} \right )+ \frac{y \sqrt{2a-y^2}}{2a} \right )+c=\\ &\\ &\text{y ahora deshacemos el otro cambio}\\ &\\ &-2a \left ( arcsen \left ( \sqrt{\frac{a-x}{2a}} \right )+ \frac{\sqrt{a-x} \sqrt{2a-a+x}}{2a} \right )+c=\\ &\\ &-2a·arcsen \left ( \sqrt{\frac{a-x}{2a}} \right )- \sqrt{a^2-x^2}+c\\ &\\ &\\ &\end{align}$$Algún paso se ha omitido por la incomodidad que te decía.
Está comprobada que está bien. Lo digo porque si la haces con algún programa puede que te de un arctg en vez de arcsen. No pasa nada porque:
$$arcsen(x) = arctg \left( \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \right )$$Es decir, que ambas funciones pueden ser la misma cosa. La solución de una integral no tiene porque tener la misma expresión para todo el mundo que la haga, aparte de que a algunas personas les guste más una forma de simplificar que as otras, también tenemos un tema que parece baladí pero no lo es. Esa el tema de la constante. Según el método de integración se ha podido introducir una suma de una constante inconscientemente y que no se ve porque tiene una expresión propia de función aunque sea una constante.
Bueno, eso es todo.
uhi noo!! no entiendo porque haces 2 veces el cambio de variable sobretodo el segundo que es:
y = sqrt(2a)sent
dy =sqrt(2a)cost dt
Y la integral queda
explicame que este ejercicio esta muy complejo para mi que apenas entiendo que es integrar
gracias por atenderme
Es que este ejercicio es complejo, de verdad que lo es.
Y se necesitan dos cambios de variable porque a nadie en el mundo se le podría ocurrir el cambio de variable que lo resuelve de golpe. Y si son integrales más complicadas pueden hacer falta tres o más cambios de variable, todos los que hagan falta hasta dar con algo que se pueda o se sepa integrar.
De hecho yo podría dicho, hacemos el cambio de variable
$$t=arcsen \left ( \sqrt{\frac{a-x}{2a}} \right )$$y saldría de un tirón, pero es que ese cambio no se ve de primeras y lo que yo debo enseñarte es los pasos que se dan. El primer cambio no me salió de primeras, hice pruebas con varios hasta llegar a él. El segundo ya lo sabía porque es el que se tiene que hacer con integrales de ese tipo, es fruto de la experiencia.
Y los cambios de variable son los que tienen que ser. No preguntes ¿Por qué este? Tu observa si vale y fijate por qué vale, cómo hace que gracias a ese cambio se simplifiquen las expresiones hasta hacerlas fáciles de integrar. La integración es complicada tiene una parte de práctica y otra de arte. No se puede pretender aprender en pocos días. Tal vez este ejercicio te superaba de momento, pero si entiendes otros más fáciles vas por buen camino.
SI lo que no entendías era lo de sqrt te diré que sqrt(x) es la raíz cuadrada de x.
