Álgebra lineal, demostración

Supongamos que ? Es un eigenvector y x es su eigenvector correspondientes para una matriz no singular A ? Rn,n . Define la matriz B1=I+a1A donde I es la matriz identidad y a1 es un escalar . Demuestra que µ1=1+a1? Es un eigenvalor de la matriz B1, y que x es su eigenvector correspondiente

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Seguramente habrás querido usar la letra lambda, pero esta página no la muestra. Vamos a llamar t al valor propio.

Por definición, si t y x son valor propio y vector propio correspondientes de la matriz A se cumple

Ax = tx

multiplicamos por a1 en ambos lados

a1·(Ax) = a1(tx)

que por propiedades del producto de escalares por matrices o escalares es

(a1·A)x = (a1·t)x

le sumamos la matriz identidad multiplicada por x a los dos lados

Ix+(a1A)x = Ix+(a1·t)x

En la izquierda usamos la propiedad distributiva del producto de matrices, em la derecha el simple hecho de que Ix = x

(i+a1A)x = (1+a1·t)x

Y esto a lo que hemos llegado es precisamente:

B1·x = µ1·x

Luego µ1 es un valor propio de la matriz B1 y x es su vector propio correspondiente.

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