Ejercicio sen &, cos & y & duda
Buenas tardes experto el siguiente ejercicio dice así:
Calcule sen &, cos & y & sabiendo que Pi < & < 3 Pi / 2 y cos 2& = -1/2.
Me da como resultado :
sen & = - 0.8660254 ; cos & = - 0.5 y & = 240 º + 360 K.
Muchas gracias.
Saludos.
1 Respuesta
Primero calculamos los ángulos cuyo cos es -1/2. Esto se llama arcocoseno o si no lo has dado todavía llámalo cos^-1
2& = arcos(-1/2) = 120º y 240º
& = 60º y 120º
Como Pi < & < 3Pi/2
180º < & < 270º
Y entonces sucede que no hay ángulo que cumpla las condiciones y no tiene sentido el resto de los cálculos.
Eso es lo que sale, mira a ver si el enunciado que me ha llegado es correcto.
Hola experto el enunciado dice calcular el seno,coseno y el angulo sabiendo que el angulo es del tercer cuadrante y el coseno de 2 & = -0.5.
He hecho:
sen^2 & + cos^2 & = 1
cos 2 & = cos^2& - sen^2 &
sen^2 & = cos^2& + 0.5
Sustituyo :
sen^2 & + cos^2 & = 1
cos^2& + 0.5 + cos^2& =1 de donde cos & = -0.5
Luego:
sen^2 & = 1 - cos^2&= 1- 0.25 de donde sen & = -0.8660254.
Y el arcoseno de & me da 60º pero al estar en el tercer cuadrante me da:
& = 180 +60 = 240º.
Creo que es así.
Muchas gracias.Saludos.
Has corrido bastante aquí:
cos^2& + 0.5 + cos^2& =1 de donde cos & = -0.5
deja que lo comprueba
2cos^2& = 0.5
cos^2& = 0.25
cos& = +-sqrt(0.25) = +-0.5
Como debe estar en el tercer cuadrante
&=240º
cos& = -1/2
y el seno es
sen&=+- sqrt(1-1/4) = +-sqrt(3)/2
Como está en el tercer cuadrante
sen& = sqrt(3)/2
Lo tienes bien.
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El fallo que cometí yo fue limitar la solución de la respuesta primera
Yo dije
2& = arcos(-0.5) = 120º y 240º
pero en realidad es
2& = 120º, 240º, 480º, 600º, 840º, 960º,.....
En modo completo, porque también entrarían hasta los ángulos negativos, es:
2& = 120º+360k y 240º+360k para todo k perteneciente a Z
luego
& = 60º+180k y 120º+180ºk para todo k perteneciente a Z
Entonces para obtener una solución & del tercer cuadrante bastaba tomar k=1 y la solución era
&= 60º + 180º = 240º
A partir de ahí ya se deducen el seno y el coseno
Y eso es todo.
