Resolver sistema ecuaciones ( direcciones principales)

Hola, estoy estancado resolviendo un problema de elasticidad al intentar calcular las direcciones principales.

El sistema de ecuaciones que tengo es este:

$$\begin{align}&-4,873x - 1y - 2z = 0\\ &\\ &-1x - 5,873y - 3z = 0\\ &\\ & x^2 + y^2 + z^2 = 1\end{align}$$

Sería de gran ayuda que me explicaras como resuelvo el sistema para calcular cada incógnita.

Gracias.

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Respuesta
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Entre las dos primeras ecuaciones despejaremos x e y dejándolas en función de z, para luego sustituirlas en la última

Multiplicamos la segunda por -4,873 y le sumaremos la primera. De paso ya colocamos z al otro lado

-4,873x -y = 2z

4,873x +28,619129y = -14,619z

Sumándolas queda

27,619129 y = -12,619 z

y = -12,619z / 27,619129 = -0,4568934813z

-4,873x + 0,4568934813z = 2z

x = -1,543106519z / 4,873 = -0,3166645842z

Y ya vamos a la última

(-0,3166645842z)^2 + (-0,4568934813z)^2 + z^2 = 1

0,1002764589z^2 + 0,2087516533z2 + z^2 = 1

1,309028112z^2 = 1

z^2 = 0,76399255343

z = sqrt(0,76399255343) = +- 0,8740283372

Hay dos conjuntos de respuestas. El primero

z = 0,8740283372

x = -0,3166645842 · 0,8740283372 = -0,27677382

y = -0,4568934813 · 0,8740283372 = -0,3993378497

y el segundo

z = -0,8740283372

x = 0,27677382

y = 0,3993378497

Y eso es todo.

Gracias.

Me da el mismo resultado que a ti, yo lo hacia de otra forma, pero no me coincidía con el resultado que tenia apuntado.

Yo lo que hice fue despejar y en la primera ecuación:

y = -4,873x - 2z

Luego sustituyo en la segunda ecuación:

- x - 5,873(-4,873x - 2z) - 3z = 0

Operando y despejando ahora la x en esta ecuación me queda:

x = -8,746z/27,619 = - 0,3167z

Ahora sustituyo la y despejada al principio y la x que acabo de despejar en la tercera ecuación:

x^2 + y^2 + z^2 = 1

(-0,3167z)^2 +(-4,873x - 2z)^2 + z^2 = 1

(-0,3167z)^2 + (- 4,873z(- 0,3167z) - 2z)^2 + z^2 = 1

Y el resultado me da el mismo que a ti:

z = +- 0,8740

x = -0,2767

y = - 0,3993

¿De la manera que yo lo he hecho está todo correcto también?

Gracias.

El resultado que tenia apuntado es:

x = 0,41

y = 0,47

z = 0,78

Que también es resultado de la ecuacion, pero no se porque dan diferente.

Es que ese resultado apuntado no está bien, no cumple la primera ecuación

-4,783x - y - 2z = -4,783 · 0,41 - 0,47 - 2 · 0,78 = -4,02793

O sea que falla y por mucho.

El sistema que hemos empleado tanto tú como yo para resolver la ecuación es bueno y conduce irremediablemente al para de respuestas que puse. Cualquier otra respuesta es falsa y esa que has puesto de las que más.

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