Problema con optimización teniendo ecuaciones de varias variables

Una compañía tiene 3 fabricas y todas elaboran el mismo producto. Si la fabrica A produce
x unidades, la fabrica B, y unidades y la fabrica C, z unidades, entonces sus respectivos
costos de producción son (3x2 + 200) dolares, (y2 + 400) dolares y (2z2 + 300) dolares. Si
se va a surtir un pedido de 1100 unidades, determine como debe distribuirse la produccion
entre las tres fabricas a n de minimizar el costo de produccion.

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Supongo que este problema es de Análisis Matemático. Es que en Investigación Operativa también hay problemas similares.

Se puede resolver por los multiplicadores de Lagrange o sustituyendo una de las variables por su valor en función de las otras, no sé cual es mejor, aunque los multiplicadores de Lagrange requieren mayor conocimiento teórico que no si lo habrás dado ya.

¿Podrías decirme si los has dado? Y si tienes que hacerlos obligatoriamente con ellos o puedes hacer sustitución de variables.

pues el tema donde lo ví es multiplicadores de lagrange, y obviamente se supone que se del tema, espero y pueda ayudar, saludos.

Pues entonces lo haremos con ellos.

La función a minimizar es

f(x,y,z) = 3x² + 200 + y² + 400 + 2z² + 300 = 3x² + y² + 2z² + 900

Y la ecuación que liga las variables es

g(x,y,z) = x + y + z - 1100 = 0

Se forma la función auxiliar

F(x,y,z,t) = f(x,y,z) + t·g(x,y,z)

donde t es el multiplicador de Lagrange

F(x,y,z,t) = 3x² + y² + 2z² + 900 + t(x + y + z - 1100)

Y ahora para calcular los puntos críticos hacemos las derivadas parciales esta función F respecto de x, y, z. Esas tres ecuaciones junto con la de g(x, y, z)=0 forman un sistema de 4 ecuaciones de las que se puede despejar x, y, z, t

Fx(x,y,z,t) = 6x + t = 0

Fy(x,y,z,t) = 2y + t = 0

Fz(x,y,z,t) = 4z + t = 0

x+y+z-1100 = 0

Y ahora resolvemos el sistema como mejor sepamos hacerlo

x = -t/6

y = -t/2

z = -t/4

-t(1/6 + 1/2 + 1/4) = 1100

-t(2+6+3)/12 = 1100

-11t / 12 = 1100

t = - 12 · 1100 / 11 = -1200

Luego

x = 1200/6 = 200

y = 1200/2 = 600

z = 1200/4 = 300

Y este es el único punto crítico que hay y es un mínimo porque no puede ser máximo ya que si hubiéramos puesto toda la producción en la fábrica A que es la más cara saldrían unos costos mayores.

Luego se deben fabricar 200 unidades en la fábrica A, 600 en la B y 300 en la C.

Y eso es todo.

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