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Para hacer esta vamos a traducir todo a senos y cosenos. Yo soy partidario de usar únicamente las tres funciones trigonométricas fundamentales, el seno, el coseno y la tangente. Aprender las derivadas e integrales de todas me parece un desgaste innecesario.
$$\begin{align}&\int sec(1-x)tg(1-x)dx =\\ &\\ &\\ &\int \frac {1}{\cos(1-x)}·\frac{sen(1-x)}{\cos(1-x)}dx = \int \frac{sen(1-x)}{\cos^2(1-x)}dx=\\ &\\ &\\ &t=\cos(1-x) \quad dt =senxdx\\ &\\ &= \frac{dt}{t^2}= -\frac 1t+C = -\frac{1}{\cos(1-x)}+C =-sec(1-x)+C\end{align}$$Y eso es todo.
También en esta me queda la duda, es con cambio de variable?, espero no sea muy complicado, gracias.
Saludos
Esta si que tiene la pinta de hacerse por cambio de variable en vista del resultado, pero eso solo puede verse si se almacena en la memoria gran cantidad de fórmulas. Y el método que he usado yo también es perfectamente válido
Está claro que el cambio sería
t = sec(1-x)
Y ahora tienes que saber que la derivada de la secante es la tangente. Yo no la sé, almaceno las derivadas del seno, coseno, tangente, las demás debo deducirlas. Así que abro un paréntesis para conocerla
(secx)' = (1/cosx)' = -(-senx/cos^2(x)) = senx/cos^2(x) = secx·tgx
Vale, ya vuelvo a la realidad.
El cambio es
t = sec(1-x)
dt = sec(1-x)·tg(1-x)·(-1)dx = -sec(1-x)tg(1-x)
Y dt es prácticamente la integral, con lo que tras el cambio queda
$$-\int dt = -t+C = -sec(1-x)+C$$
Ya sabes, apréndete toda la tabla de derivadas con todas las variantes que puedan surgir por los millones de identidades trigonométricas existentes, nunca se sabe cuando te hará falta alguna. O bien aprende a deducir y resolver los problemas sin necesidad de tener tanta memoria.
