Simplificación de fracciones algebraicas propias

Consiste en factorizar los polinomios para simplificar los factores comunes

3x - 3 = 3(x-1)

3(x^2 - 1) = 3(x+1)(x-1)

9x^3 + 9x = 9x(x^2+1)

x^2+6x+5 = (x+5)(x+1)

Este último se factoriza sin más que resolver la ecuación de segundo grado x^2+6x+5= 0 que nos da soluciones -1 y -5

con todo esto queda.

$$\begin{align}&\frac{3x-3}{3(x^2-1)}·\frac{9x^3+9x}{x^2+6x+5} =\\ &\\ &\frac{3(x-1)·9x(x^2+1)}{3(x+1)(x-1)(x+5)(x+1)}=\\ &\\ &\frac{9(x^2+1)}{(x+5)(x+1)^2}\end{align}$$

No sé si quieren que la dejes así factorizada o que hagas las operaciones, las hago por si acaso.

$$\begin{align}&\frac{9(x^2+1)}{(x+5)(x+1)^2}=\\ &\\ &\\ &\frac{9x^2+9}{(x+5)(x^2+2x+1)}=\\ &\\ &\\ &\frac{9x^2+9}{x^3+2x^2+x+5x^2+10x+5}=\\ &\\ &\\ &\frac{9x^2+9}{x^3+7x^2+11x+5}\end{align}$$

2)

Hacemos lo mismo, esta vez tendremos que resolver más ecuaciones de segundo grado o saber que el producto de las raíces es el coeficiente c y la suma de ellas es -b

(x^2 + 10x +25) / (x^2 + 6x +5)] [(x^3 -x) / (x^2 + 3x + 10)]

x^2 + 10x + 25 es un cuadrado perfecto (x+5)^2

x^2 + 6x + 5 ya se hizo antes, las raíces son -1 y -5 porque (-1)(-5) = 5 = c y -1-5 = -6 =-b

luego la factorización es (x-(-1))(x-(-5) = (x+1)(x+5)

x^3-x = x(x^2-1) = x(x+1)(x-1)

x^2+3x+10 no tiene raíces reales, si aplicas la fórmula de resolución verás que lo de la raíz cuadrada te saldrá negativo.

$$\begin{align}&\frac{x^2+10x+25}{x^2+6x+5}·\frac{x^3-x}{x^2+3x+10}=\\ &\\ &\\ &\frac{(x+5)^2x(x+1)(x-1)}{(x+1)(x+5)(x^2+3x+10)}=\\ &\\ &\\ &\frac{(x+5)x(x-1)}{x^2+3x+10}\\ &\\ &\\ &\text {si se quiere en forma normal es}\\ &\\ &\\ &\frac{x^3+4x^2-5x}{x^2+3x+10}\end{align}$$

Y eso es todo.