Determine el área del cuadrilátero ABCD tal que A=(1,2,1), B = (4,4,1), C(6, 1, 1) y D ( 2, -1, 1)

El cuadrilátrero puede descomponerse en dos triángulos cortando por una diagonal. Y en cada uno de ellos podemos calcular el área por la fórmula de que el área es la mitad del módulo del producto vectorial de dos lados tomados como vectores.

Luego tomaremos la diagonal BD como diagonal de corte y Los vectores AB y AD para el primer triángulo y los vectores CB y CD para el segundo.

Calculamos esos vectores

AB = (4,4,1) - (1,2,1) = (3, 2, 0)

AD = (2,-1,1) - (1,2,1) = (1, -3, 0)

CB = (4,4,1) - (6,1,1) = (-2, 3, 0)

CD = (2,-1,1) - (6,1,1) = (-4,-2,0)

A primera vista no hay ninguno paralelo a otro y AB es perpendicular a CB, luego en B hay 90 grados pero no hay nada más que nos permita usar una fórmula sencilla tipo trapecio o similar. Luego vamos a hacer lo que habíamos dicho.

        |i  j  k|
ABxAD = |3  2  0| = 0i+0j+[3(-3)-2·1]k = -12k
        |1 -3  0|
        | i  j k|
CBxCD = |-2  3 0| = 0i+0j+[(-2)(-2)+3·4]k = 16k
        |-4 -2 0|  

Luego los productos vectoriales son

(0, 0, -12)

(0, 0, 16)

Para calcular el módulo no es necesario que hagamos la parafernalia de la raíz cuadrada de los cuadrados, los módulos son 12 y 16, así de simple

Y el área de los respectivos triángulos es la mitad de esos módulos 6 y 8

Luego el área del cuadrilátero es 6+8 = 14 unidades cuadráticas

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no es así pídeme explicaciones. Y si ya está bien no olvides puntuar.

Genial, explicación perfecta.