Ayuda con esta demostración con vectores

Dice:

Demostrar que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio

Yo he desarrollado hasta cierta parte en la que dudo un poco

mi duda es si se puede reemplazar el dato ||BO||=||OD||

en la ecuación que dice 2AO= BO-OD +AC

Quiero demostrar el problema con este método, si me he equivocado en algo corrigame

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Has llegado a que para demostrar que es el punto medio de una diagonal debe ser el punto medio de la otra. Y seguramente para demostrar que es el punto medio de la otra tendrías que demostrar que es el punto medio de la primera. En resumen que no puedes salir del bucle.

¿Necesitas demostrarlo por vectores? Es que con el teorema de Thales y los triángulos semejantes es una demostración inmediata.

Por ser triángulos con lados opuestos por un vértice y el lado contrario paralelo tenemos que estos dos triángulos son semejantes

AOB ~ COD

Ojo, el orden de las letras es muy importante ya que expresa los lados homólogos. Entonces por el teorema de Thales

AB / CD = AO / CO

Como es un paralelogramo AB = CD

1 = AO / CO

AO = CO

y como AC = AO + OC = 2AO

tenemos AO = (1/2)AC

Y ese sería el método como yo lo demostraría. Pero si debe ser otro, dime que se puede usar exactamente.

hola vale , como le digo quiero que sea por el mismo método (todo con vectores) , no se si esta bien lo qe hice anteriormente .mi DUda como le digo es que si puedo usar ||BO||=||OD||

ese dato no lo dan ,pero sale del gráfico ; o no lo puedo usar

o sino hay algún método parecido ,dígamelo

No puedes usar ||BO||=||OD|| porque eso es prácticamente lo mismo que quieres demostrar salvo que en la otra diagonal.

Y el método bueno es el que te digo, pero déjame que lo piense, que ahora no puedo atenderte que tengo que hacer cosas personales.

Lo haremos con vectores, pero sin flechas.

a y b serán vectores

t y s serán escalares

A, B, C y D son puntos

Vamos a calcular las ecuaciones vectoriales de las dos diagonales y a calcular su intersección.

La diagonal AC es una recta con punto A y vector a+b

La diagonal BD es una recta con punto B y vector a-b

El punto B es la suma del vector a al punto A luego B = A+a

Asi que la diagonal B es una recta con punto A+a y vector a-b

Los puntos de la diagonal AC son de la forma

A+t(a+b)

Los de la diagonal BD

A+a+s(a-b)

El punto de intersección será

A+t(a+b) = A+a+s(a-b)

t(a+b) = a + s(a-b)

ta + tb = a +sa -sb

Lo pasamos todo a un lado

ta - a -sa + tb + sb = 0

(t-1-s)a + (t+s)b = 0

Como a y b son linealmente independientes eso solo es posible si los escalares de la combinación son 0

t-1-s = 0

t+s = 0

Las sumamos

2t -1 = 0

2t = 1

t = 1/2

Luego el punto de intersección es

A + (1/2)(a+b)

Y la distancia de la intersección al punto a es

||(1/2)(a+b)|| = ||a+b|| / 2

Como ||a+b|| = ||AD||

la distancia a la intersección es ||AD||/2, la mitad de la distancia de la diagonal.

Y eso es todo.

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