Aplicación de la derivada

Aplicaremos la regla de la cadena que dice:

$$\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dr}·\frac{dr}{dt}$$

Donde V es la función volumen y puede expresarse tanto en función del tiempo como del radio y el radio es una función del tiempo.

Lo que nos piden es dr/dt en el instante en que r=0.005mm

Y para ello calcularemos las otras dos derivadas que intervienen en la fórmula

El volumen en función del tiempo es

V(t) = 0.002Pi·t

dV/dt = 0.002Pi

El volumen en función del radio es

V(r) = (4/3)Pi·r^3

dV/dr = 4Pi·r^2

Sustituyendo los valores en la fórmula de la regla de la cadena tenemoss

$$\begin{align}&0.002\pi = 4\pi r^2 \frac {dr}{dt}\\ &\\ &\frac{dr}{dt}=\frac{0.002}{4r^2}=\frac{0.0005}{r^2}\\ &\\ &\left.\frac{dr}{dt}\right|_{r=0.005}=\frac{0.0005}{0.005^2}=\frac{0.0005}{0.000025}=20\; mm/min\end{align}$$

Y eso es todo.