Geometría en el espacio
un triangulo rectángulo ABC (90º en B) , los catetos miden 15y20 , porbSE TRAZA BP PERPENDICULAR AL PLANO abc TAL QUE bp=9 CALCULAR
la medida del diedro que
forman los planos abc y apc
1 respuesta
El ángulo diedro es el ángulo que forman los vectores directores de los dos planos,
El triángulo ABC lo supondremos sobre el plano z=0 con los puntos
B = (0,0,0)
A = (15,0,0)
C = (0,20,0)
El segmento BP estará sobre el eje Z y el punto P será
P = (0,0,9)
Vamos a calcular la ecuación del plano APC
| x y z-9| |15 0 -9| = 0 | 0 20 -9|
300(z-9) + 135y + 180x = 0
180x + 135y + 300z - 2700 = 0
Dividimos todo entre 15
12x + 9y + 20z - 180 = 0
Luego el vector director de APC es
(12, 9, 20)
Mientras que el de ABC z=0 es
(0,0,1)
Y el coseno del ángulo que forman es el producto escalar dividido entre el producto d los módulos de los vectores
$$\begin{align}&\cos \alpha=\frac{(12,9,20)·(0,0,1)}{1·\sqrt{12^2+9^2+20^2}}=\\ &\\ &\frac{20}{\sqrt{625}}= \frac{20}{25}=\frac{4}{5}\end{align}$$Y este coseno no es de un ángulo exacto pero indica el ángulo que se forma en el famoso triángulo rectángulo de cateto adyacente 4, cateto opuesto 3 con hipotenusa 5.
arcos(4/5) = 36.86989765º
Y eso es todo, no se si era esta la forma de hacerlo o había otra más sencilla, pero a mi solo se me ocurre esta.
