Resolución de ejercicio sobre límites matemáticos

Estos límites salen muy fácilmente encontrando un infinitésimo equivalente desarrollando el polinomio de Taylor en el uno que nos dice que cualquier función puede aproximarse mediante el desarrollo:
f(x)=f(xo)+f'(xo)*(x-xo)+1/2!*f''(xo)*(x-xo)^2+1/3!*f'''(xo)*(x-xo)^3...
En nuestro caso lo desarrollamos en el 1 y sólo cogemos los dos primeros términos
f(x)=f(1)+f'(1)*(x-1)
Desarrollando la función f(x)=x^(1/n)
f(x)=x^(1/n)-->f(1)=1^(1/n)=1
f'(x)=(1/n)*x^(1/n-1)-->f'(1)=(1/n)*1^(1/n-1)=1/n
Luego
x^(1/n)=1+(1/n)*(x-1)
En particular
x^(1/4)=1+(1/4)*(x-1)
x^(1/3)=1+(1/3)*(x-1)
x^(1/5)=1+(1/5)*(x-1)
y el límite quedará
lim[x^(1/4)-1]/[x^(1/3)-1]=
lim[1+(1/4)*(x-1)-1]/[1+(1/3)*(x-1)-1]=
lim[(1/4)*(x-1)]/[(1/3)*(x-1)]=
(1/4)/(1/3)=3/4
Repitiendo lo mismo, el de abajo quedará
lim[x^(1/5)-1]/[x^(1/3)-1]=
lim[1+(1/5)*(x-1)-1]/[1+(1/3)*(x-1)-1]=
lim[(1/5)*(x-1)]/[(1/3)*(x-1)]=
(1/5)/(1/3)=3/5