Busco ayuda para resolver problema matemático relacionado con la producción de un almacen

Profesor necesito su ayuda ya que me dieron esta guía para resolver y acorde a esto va a ser el parcial que me tomaran y no entiendo como hacerlo.
Una empresa fabricante de pallets tiene una capacidad máxima de producción de 80000 pallets mensuales.La empresa tiene un costo fijo de 30000 pesos para operar mensualmente y en materiales y mano de obra invierte 100 pesos por unidad producida.Se sabe ademas que si la empresa vende a 250 pesos cada pallets, la cantidad demandada por sus clientes mensuales es de 50000pallets y si se eleva el precio a 400 pesos por unidad, la cantidad demandada es de 40000 pallets.Se pide:
a)Determinar la ecuación de la función de demanda lineal de pallets que comercializa la empresa.
b)Determinar la función de costo total mensual de la EMPRESA .
C)CALCULAR LA CANTIDAD DE PALLETS A PRODUCIR POR LA EMPRESA PARA QUE EL COSTO TOTAL sea menor a 90000 pesosmensuales.
d)¿Cuál sera el precio máximo que la demanda esta dispuesta a pagar por este producto y que cantidad máxima se demandara cuando el producto sea gratuito?
e)¿Determinar la función ingreso total mensual que dependa de la cantidad producida?
f)Determinar la función beneficio total mensual que dependa de la cantidad producida.
g)Calcular la cantidad que se debe producir la empresa para obtener un beneficio de 150000 pesos mensuales.
Si me ayuda se lo agradeceré con todo mi corazón!
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5.848.400 pts. Me voy x tiempo. Necesito hacer otras cosas, descansar...
Me subes de categoría llamándome profesor porque no lo soy. Tampoco es mi fuerte esta matemática no sé si llamarla económica, financiera o empresarial. No la damos en la carrera de matemáticas. Así que estoy consultando en internet y a lo mejor cometo algún error al responder.
a) Determinar la ecuación de la función de demanda lineal de pallets que comercializa la empresa.
Si la demanda es lineal, la curva de la demanda es una recta que pasará por los dos puntos que dices de la forma (cantidad demandada, precio)
(250, 50000) y (400, 40000)
Hay setecientas mil formas de calcular la recta:
pendiente = (incremento de Q(p)) / (incremento de p) =(40000 - 50000) / (400 -250) =
-10000 / 150 = 200/3 = -66,666...
Q(p) = Q(punto 1) + pendiente(p - p0)
Q(p) = 50000 - (200/3) (p - 250)
Q(p) = 50000 - 200p/3 + 50000/3
Q(p) = 200000 /3 - 200p / 3 o si se prefiere
Q(p) = (200/3)(1000 - p)
--------------
b) Determinar la función de costo total mensual de la EMPRESA .
El costo se compone de los costos fijos y los de producción que dependen del número por de unidades producidas:
C(x) = 30000 + 100x
----------------
C)CALCULAR LA CANTIDAD DE PALLETS A PRODUCIR POR LA EMPRESA PARA QUE EL COSTO TOTAL sea menor a 90000 pesosmensuales.
Debemos sustituir 90000 en la primera parte de la fórmula del costo y despejar es en la inecuación planteada
90000 < 30000 + 100x
90000 - 30000 < 100x
60000 < 100x
60000/100 < x
600 < x
x < 600
Debe producir 599 pallets o menos
----------
d) ¿cuál sera el precio máximo que la demanda esta dispuesta a pagar por este producto y que cantidad máxima se demandara cuando el producto sea gratuito?
Tomamos la función de la demanda antes calculada
Q(p) = (200/3)(1000 - p)
El precio máximo se da cuando la demanda llega a cero
0 = (200/3) (1000 - p ) ==>
0 = 1000 - p ==>
p =1000
El precio máximo es 1000 pesos
La demanda cuando el producto es gratuito no es más que poner cero en lugar del precio:
Q(0) = (200/3) (1000 - 0) = 200000/3 = 66666
-------------
e) ¿Determinar la función ingreso total mensual que dependa de la cantidad producida?
¿Este no lo sé bien. Se supone que fabricará los que la demanda quiere? ¿O según los que produzca le ajustarán el precio?

Calculo el precio unitario que le pagan si vende por pallets
x = (200/3)(1000 - p)
3x/200 =1000 - p
p = 1000 - 3x/200
Ahora multiplico ese precio por los pallets vendidos
IT(x) = x(1000 - 3x/200)
Lo dejo de momento porque tengo que ir a dormir y no estoy seguro de si estoy haciendo bien esto último y lo que viene tampoco lo veo claro. Ya te digo que estas cosas no las he estudiado. Mantén la pregunta abierta hasta que conteste del todo o te lo indique.
Gracias por su tiempo, de todos modos para mi es un profesor porque al menos intenta hacer algo que no ha estudiado y eso tiene mucho valor!
No se como se deja la pregunta abierta por eso pido aclaración para después poder puntuarlo (con un diez!) Por atender mi pedido.
Vale, continuaré pero no sé si utilizaré correctamente la teoría y sobre todo la notación habitual de economía, simplemente voy a guiarme por el sentido común.
Me quedaba en que el ingreso mensual dependiendo de las unidades vendidas por era:
ITM(x) = x(1000 - 3x / 200)
Si se prefiere puedes expresarlo operando el paréntesis
ITM(x) = 1000x - (3·x^2)/200
-----------
f) Determinar la función beneficio total mensual que dependa de la cantidad producida.
El beneficio total mensual será el ingreso total mensual menos el costo total mensual que ya fueron calculados antes:
BTM(x) = ITM(x) - CTM(X)
CTM(x) es lo que en el apartado b) llame C(x)
BTM (x) =1000x - (3·x^2)/200 - (30000 +100 x) = 1000x - (3·x^2)/200 - 30000 -100 x
BTM(x) = 900x - (3·x^2)/200 - 30000
-----------
g) Calcular la cantidad que se debe producir la empresa para obtener un beneficio de 150000 pesos mensuales.
Pues habrá que tomar la fórmula del beneficio total mensual y depejar la x
BTM(x) = 900x - (3·x^2)/200 - 30000
150000 = 900x - (3·x^2) / 200 - 30000 Pasémoslo todo a la izquierda y pongamos denominador común
[3x^2 - 200 · 900x + 200 (150000+30000)] / 200 = 0
3x^2 - 180000x + 36000000 = 0
x^2 - 60000x + 12000000 = 0
Es una ecuación de segundo grado que resolvemos por la fórmula típica
x = [60000 +- sqrt(60000^2 - 4 · 12000000)] / 2 =
= 30000 +- (1/2) sqrt(3600000000 - 48000000) =
= 30000 +-(1/2) sqrt(3552000000) =
= 30000 +- (1/2)59598,658 =
= 30000 +- 29799,329 = 59799,329 ó 200,67115
Sabemos que la función del beneficio es una parábola invertida por tener coeficiente negativo en x^2. Es decir, crece, llega al máximo y decrece. La primera solución le pilla creciendo y la segunda cuando decrece. Para asegurar un beneficio igual o ligeramente superior a 150000 hay que tomar el entero superior a la respuesta menor y el inferior a la mayor
x = 201 ó 59799 unidades
Hagamos una mera comprobación rápida con 201 unidades
p = 1000 - 3x/200 = 1000 - 3(201)/200 = 1000 - 3,015 = 996,985 pesos
ingresos = 201 * 996,985 = 200393,99 pesos
costo = 30000 + 100 * 201 = 50100 pesos
beneficio = 203393,99 - 50100 = 150293,99 pesos
y con 59799
p = 1000 - 3x/200 = 1000 - 3(59799)/200 = 1000 - 896,985 = 103,015 pesos
ingresos = 59799 * 103,015 = 6160194 pesos
costo = 30000 + 59799 * 100 = 6009900 pesos
beneficio = 6160194 - 6009900 = 150294 pesos
Luego está bien y esas son las soluciones.
Y eso es todo, espero que te haya servido y lo hallas entendido. Te recomiendo que estas preguntas las dirijas a un experto de Económicas o Empresariales, sobre todo si son ya más complicadas, porque los matemáticos no hemos estudiado esto. No olvides puntuar para cerrar la pregunta.

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