Ejercicios sobre logaritmo

La población de una región está creciendo exponencialmente. Se sabe que hubo 40.000.000 de habitantes en el año 1990 (t=0) y 56.000.000 en el 2000. Encuentre una expresión para la población en cualquier tiempo t. ¿Qué puede predecir para el año 2010? ¿Cuál es el tiempo en que se duplica la población?
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1 Respuesta

5.848.400 pts. Me voy x tiempo. Necesito hacer otras cosas, descansar...
Ahora te contesto tranquilamente.
En wikipedia puedes ver cual es la fórmula para el crecimiento exponencial:
http://es.wikipedia.org/wiki/Crecimiento_exponencial
P(t) = P(0)·e^(rt)
Donde P(t) es la población en el instante t
P(0) es la población en un instante que convenimos en llamar cero
r es la tasa de crecimiento
t el tiempo
e es el famoso número e = 2,718281828459...
En tu problema llamamos se llama t=0 al año 1990, por tanto:
P(1990+t) = 40000000e^(rt)
Ahora sabemos que en el año 2000 valia 56 milllones, luego
56000000 = 40000000e^(10r)
Donde el tiempo lo hemos medido en años. Despejaremos r que es lo que nos falta por conocer
56000000/40000000 = e^(10r)
1,4 = e^(10r)
Ahora tomamos logaritmos neperianos en ambos miembros
ln(1,4) = ln[e^(10r)]
Como sabemos logaritmo neperiano es la función inversa de e^x, luego
ln(1,4)= 10r
r = ln(1,4) / 10 = 0,3364722 / 10 = 0,03364722
Luego la función de poblacion es esta
P(1990+t) = 40000000·e^(0,03364722·t)
--------

En el año 2010 el tiempo transcurrido desde 1990 es 20 años, acudimos a la fórmula y nos da:
P(2010) = P(1990+20) = 40000000·e^(0,03364722 · 20)=40000000·e^0,6729444=
40000000·1,96 = 78.400.000 personas
--------

Partamos del año 1990 y supongamos que la población se haya duplicado, con eso prodremos despejar en la fórmula el tiempo t transcurrido:
P(1990+t) = 80000000 = 4000000·e^(0,03364722 · t)
2 = e(0,03364722 · t)
Como antes, tomamos logaritmos neperianos
ln 2 = 0,03364722 · t
t = ln 2 / 0,0336472 = 0,6931471 / 0,0336472 = 2,0600442 años
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hallas entendido. No olvides puntuar para cerrar la pregunta o pedir más aclaraciones.

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