Problema de Integral definida 1
Agradezco su ayuda con este problema que me ha complicado mucho
$$\int_0^1\frac{x^2+ 2x}{\sqrt[3]{x^3+3x^2+4} }dx$$
Una integral de este tipo solo puede salir si ha sido preparada para que salga.
Veamos cual es la derivada del interior de la raíz cuadrada
3x^2 + 6x
efectivamente, esto 3 veces el numerador, luego esta claro el cambio
$$\begin{align}&\int_0^1\frac{x^2+ 2x}{\sqrt[3]{x^3+3x^2+4} }dx =\\ &\\ &t=x^3+3x^2+4\\ &dt = (3x^2+6x)dx \implies (x^2+2x)dx=\frac {dt}3\\ &x=0\implies t=4\\ &x=1\implies t=8\\ &\\ &=\int_3^8 \frac{dt}{3 \sqrt[3]t}=\frac 13 \int_4^8 t^{-1/3}dt=\\ &\\ &\frac 13\left[\frac{t^{2/3}}{\frac 23} \right]_4^8=\frac 12[t^{2/3}]_4^8= \\ &\\ &\frac 12(4-\sqrt[3]{16})=2-\sqrt[3]2=\\ &\end{align}$$Y eso es todo.
No logro comprender la parte donde sale T= 4 /T=8
Me puede aclarar por favor
Del cambio de variable. Cuando se hace un integral indefinida no se hace nada de esto, una vez se llega al final se deshace el cambio y tienes la primitiva. Pero cuando se hace una integral definida se cambian los límites de integración como consecuencia del cambio de variable
Tenemos la integral en x con los límites de integración en x. Si hacemos el cambio de variable t=f(x) tendremos la integral en t y los límites tendrán que ser los valores de t correspondientes a los que teníamos en x.
Por eso si el cambio ha sido
t= x^3 + 3x^2 + 4
los límites de integración en t son
t(0) = 0^3 + 3·0^2 + 4 = 4
t(1) = 1^3 + 3·1^2 + 4 = 1 + 3 + 4 = 8
Asi es como se hace y al final no tienes que deshacer el cambio, evalúas directamente 4 y 8 en la integral en t que has calculado.
Hay una forma alternativa de hacerlo, consiste en olvidarse que es una integral definida, tomarla como indefinida, resolverla, deshacer el cambio para volver a dejarla como función de x y entonces aplicar los límites 0 y 1. Pero la forma ortodoxa de hacerlo es como te he enseñado.
