Ayuda con Limites

Hola que tal, soy un joven chileno que esta estudiando para un examen muy importante y tengo dudas en los siguientes ejercicios con Limites, si usted es tan amable de ayudarme con ellos estaría eternamente agradecido. De antemano gracias.
1) Lim (3^x - 3^-x)/(3^x + 3^-x) ;cuando x-0
2) Lim(x-1)/((raiz de (x^2+3))-2) ;cuando x-0
3)Lim f(x)=(raiz(x+1))-x ; cuando x-infinito.
4)Lim f(x)= (raiz(x-3))-((raiz(x+3)) ;cuando x-infinito.
5) Lim(1-2x)^(1/x), sabiendo que Lim(1+x)^(1/x)=e.
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2 Respuestas

0 pts.
1) lim (3^x - 3^-x)/(3^x + 3^-x) cuando x->0 = 0/2 = 0
(por substitución)
2) lim (x-1)/(raiz(x^2+2)-2) cuando x->0 = -1/(raiz(2)-2)
(por substitución)
3) lim raiz(x+1)-x =
lim (raiz(x+1)-x)(raiz(x+1)+x)
/(raiz(x+1)+x) =
(inf-inf con radicales: multiplicar por el conjugado)
lim (x+1 - x^2)/(raiz(x+1)+x)=
(inf/inf: L'Hopital)
= (1 -2x) / (1/(2*raiz(x+1))+ 1) =
(1-2x)*2*raiz(x+1)/(1+2*raiz(x+1)) = lim (1-2x)* = -inf
(porque lim raiz(x+1)/(1+2*raiz(x+1))= 1, por L'Hopital)
4) lim raiz(x-3)-raiz(x+3) =
-6 / (raiz(x-3)+raiz(x+3))
(inf-inf con radicales: multiplicar y dividir por el conjugado) =
= -6/inf = 0
5) lim (1-2x)^(1/x) =
e^(lim (1/x)2x) =
(indeterminación 1^inf)
= e^(lim 1/2) = raiz(e)
DM
15.750 pts. Mathematical Engineering
Para tu primera y segunda pregunta, como tu función no se indetermina donde estás analizando el límite, puedes evañuarla:
1)lim_{x->0}{(3^x-3^-x)/(3^x+3^-x)}=0
2)lim_{x->0}{(x-1)/(raiz(x^2+3)-2))}=-1/(raiz(3)-2)
3)haced el cambio de variables:
t=1/x^2, y está listo:
lim_{x->infinito}{sqrt(x+1)-x}
=lim_{t->0}(sqrt(1/t^2+1))-1/t^2
=lim_{t->0}(t*sqrt(1+t^2)-1)/(t^2)=-infinito
4)Debes hacer dos trucos: primero hacer lo mismo del problema anterior, es decir, hacer x=1/t^2 y reemplazar, y multiplicar por el conjugado del numerdador.
El resultado te debe dar 0.
5)Supongo que estás analizando los límites cuando x->0 (te olvidaste anotarlo)
Haces el siguiente cambio de variables: t=-2x y te queda:
lim_{t->0}(1+t)^(-2/t)=
(lim_{t->0}(1+t)^(1/t)))-2
=e^-2.
NOTA: Como vez, es muy difícil escribir es este recuadro, pero con las indicaciones que te doy debiera ser suficiente.
Si te quedan dudas vuelve a preguntar.. sino te pido no olvides evaluar mi respuesta.
Éxito,
Mathtruco.

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