Ayuda en transformaciones lineales

Si que existe, es sencilla.

T(x,y,z,w) = (x, y, x+y, x+y)

No cuesta nada comprobar que es lineal.

T(x1,y1,z1,w1) + T(x2,y2,z2,w2) =

(x1, y1, x1+y1, x1+y1) + (x2, y2, x2+y2, x2+y2) =

(x1+x2, y1+y2, x1+y1+x2+y2, x1+y1+x2+y2)=

T(x1+x2, y1+y2, z1+z2, w1+w2)

T[k(x,y,z,w)] = T(kx,ky,kz,kw) =

(kx, ky, kx+ky, kx+ky) =

k(x, y, x+y, x+y)=

k·T(x,y,z,w)

Y el conjunto imagen es Nu(T)

Por construcción se verifica que

T(x,y,z,w) = (x , y, x+y, x+y) € Nu(T)

luego Im(T) incluido o igual que Nu(T)

Sea ahora un vector de Nu(T)

(x,y, z, w) tal que z = x+y , w=x+y

luego es

(x,y, x+y, x+y)

Y cualquier vector de R4 de la forma

(x, y, lo que sea, lo que sea) tiene por imagen ese vector.

Luego Nu(T) incluido o igual que Im(T)

Y de las dos inclusiones se deduce que Im(T) = Nu(T)

Y eso es todo.