Ejercicios matemáticos de ecuaciones diferenciales, variables independientes y funciones
Hola, me llamo sara y soy estudianyte de 3 curso de lic. En matemáticas por la universidad de granada.
Tengo dos ejercicios de ecuaciones diferenciales, que no tengo ni idea de resolver, me gustaría que me ayudase a hacerlo ud. Si es posible.
Los ejercicios son :
1.
1.se considera la ecuacion diferencial de segundo orden y? + y?/ t ? (4/t^2)y =0 (*) , con t >0.
a)sea y (t) una solucion de (*).demuestra que si y(t) no se anula en un intervalo I contenido (0,mas infinito9, entonces la funcion x (t) =y? (t) / y(t) es solucion de la ecuación e ricatti x? + x/t - 4 / t^2 +x^2 =0 (**) en I.encuentra dos soluciones particulares de (**) de la forma x(t) = a / t, con a perteneciente a los reales.
b)Utiliza el apartado a) para calcular la solución de (1) que satisface las condiciones iniciales y (1) = 1, ¿y? (1) = 2
c) Calcula la solución general de la ecuación de ricatti (**).
2.sean f,g : I----reales funciones dadas tales que f distinto de cero.
Se considera la ecuación f(t) y? + g(t) y? + ky =0, con k perteneciente a los reales.
Determina las condiciones que deben verificar las funciones f, g y calcula h (en función de f y de g) para que el cambio de variable independiente es = h(t) transforme la ecuación en una ecuación de coeficientes constantes.
Tengo dos ejercicios de ecuaciones diferenciales, que no tengo ni idea de resolver, me gustaría que me ayudase a hacerlo ud. Si es posible.
Los ejercicios son :
1.
1.se considera la ecuacion diferencial de segundo orden y? + y?/ t ? (4/t^2)y =0 (*) , con t >0.
a)sea y (t) una solucion de (*).demuestra que si y(t) no se anula en un intervalo I contenido (0,mas infinito9, entonces la funcion x (t) =y? (t) / y(t) es solucion de la ecuación e ricatti x? + x/t - 4 / t^2 +x^2 =0 (**) en I.encuentra dos soluciones particulares de (**) de la forma x(t) = a / t, con a perteneciente a los reales.
b)Utiliza el apartado a) para calcular la solución de (1) que satisface las condiciones iniciales y (1) = 1, ¿y? (1) = 2
c) Calcula la solución general de la ecuación de ricatti (**).
2.sean f,g : I----reales funciones dadas tales que f distinto de cero.
Se considera la ecuación f(t) y? + g(t) y? + ky =0, con k perteneciente a los reales.
Determina las condiciones que deben verificar las funciones f, g y calcula h (en función de f y de g) para que el cambio de variable independiente es = h(t) transforme la ecuación en una ecuación de coeficientes constantes.
1 Respuesta
Respuesta de mathtruco
1
Una ecuación de Ricatti es una Bernoulli disfrazada.
Como y'(t)=y(t)x(t) entonces
y''(t)=x'(t)y(t)+x(t)y'(t), por regla de la cadena.
Sustituyendo en la ecuacion a resolver:
x' = 4/t^2 - x/t - x^2
xp = 2/t es una solucion particular (se ve por inspeccion)
ahora hacemos u=x-xp => u' = x' -xp'
ent, sumando y restando se tiene que
u' + u/5 = -u^2 la cual es una ec de Bernoulli con n=2
hacemos w = u^(1-n) = u^-1 => w' = -u'(u^-2)
reemplazamos en la ec de Bernoulli y queda
w' + 5w/t = 1
el factor integrante es e^(int(5/t)=t^5
sabiendo esto escribes d/dt(w*t^5)=t^5 que equivalente a la ec de arriba.
Integras con respecto de t y divides por t^5 y queda:
w=(t^6/6+c)/t^5 = (t^6+k)/t^5
Ahora lo único que queda es volver a la variable original, en lo cual no debieras
tener problemas.
PUES: Lo único importante en estas ecuaciones con nombre (como Bernoulli, Bessel, Ricatti...) es saberte el método, por eso tienen nombre, porque no son triviales a menos que utilices el método adecuado.
Espero te sirva, y para una próxima escribe más claro, porque me demore más en entender a que correspondían esos signos de interrogación que lo que me emore en resolver el problema
Como y'(t)=y(t)x(t) entonces
y''(t)=x'(t)y(t)+x(t)y'(t), por regla de la cadena.
Sustituyendo en la ecuacion a resolver:
x' = 4/t^2 - x/t - x^2
xp = 2/t es una solucion particular (se ve por inspeccion)
ahora hacemos u=x-xp => u' = x' -xp'
ent, sumando y restando se tiene que
u' + u/5 = -u^2 la cual es una ec de Bernoulli con n=2
hacemos w = u^(1-n) = u^-1 => w' = -u'(u^-2)
reemplazamos en la ec de Bernoulli y queda
w' + 5w/t = 1
el factor integrante es e^(int(5/t)=t^5
sabiendo esto escribes d/dt(w*t^5)=t^5 que equivalente a la ec de arriba.
Integras con respecto de t y divides por t^5 y queda:
w=(t^6/6+c)/t^5 = (t^6+k)/t^5
Ahora lo único que queda es volver a la variable original, en lo cual no debieras
tener problemas.
PUES: Lo único importante en estas ecuaciones con nombre (como Bernoulli, Bessel, Ricatti...) es saberte el método, por eso tienen nombre, porque no son triviales a menos que utilices el método adecuado.
Espero te sirva, y para una próxima escribe más claro, porque me demore más en entender a que correspondían esos signos de interrogación que lo que me emore en resolver el problema
Sorry, pero de plano no entiendo la segunda pregunta, esos signos de interrgadcion podrían ser cualquier cosa (depende demasiado el orden de la ecuación)..
Para la próxima se más clara para poder responder más rapido.
Para la próxima se más clara para poder responder más rapido.
Para una próxima vez, trata de escribir más claro para poder ayudarte mejor y más rapido. No uses acentos ni caracteres raros (usa solo los del alfabeto gringo)
Las respuestas son gratis, puedes preguntar cuando quiera lo que sea, y hasta pedir aclaraciones cuando no te queda clara una pregunta.
Lo único que te pido es que evalúes la respuesta (si te parece que es acertada)
PUES: Y claro.. si quieres una respuesta a tu segunda pregunta, redáctala mejor y te podré ayudar...
Chao
Mathtruco
Lo único que te pido es que evalúes la respuesta (si te parece que es acertada)
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Chao
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